数学学案：预习导航平面的基本性质与推论.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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预习导航

课程目标

学习脉络

1．理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论．

2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．

3．能进行文字语言、图形语言、符号语言之间的相互转化．

1．点、线、面之间的位置关系及表示

文字语言

图形语言

数学符号

点A在直线l上

A∈l

点A不在直线l上

A?l

点A在平面α内

A∈α

点A不在平面α内

A?α

直线l在平面α内

l?α

直线l不在平面α内

l?α

直线l和直线m

相交于点A

l∩m＝A

平面α与平面β

相交于直线a

α∩β＝a

思考1“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗?

提示:不对，直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交．

2．平面的基本性质

文字语言

图形语言

符号语言

基本性质1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．这时就说，直线在平面内或平面经过直线

若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α,则l?α

基本性质2

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面,简称为不共线的三点确定一个平面

若A,B，C三点不共线，则有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α

基本性质3

如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．这条公共直线叫做这两个平面的交线

若A∈α，A∈β，则α∩β＝l，且A∈l

思考2经过三点能确定几个平面？

提示：当三点共线时,有无数个平面，当三点不共线时，有且只有一个平面．

3．平面基本性质的推论

文字语言

图形语言

符号语言

推论1

经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面

点A?直线BC?存在唯一的平面α，使A∈α,直线BC?α

推论2

经过两条相交直线,有且只有一个平面

直线AB∩直线AC＝A?存在唯一的平面α，使直线AB?α，且直线AC?α

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面

l∥m?存在唯一的平面α，使l?α，且m?α

思考3对于基本性质2及其平面基本性质的三个推论你是怎样理解的？

提示：基本性质2和平面基本性质的三个推论可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个,就说明这个图形是完全确定的．

4．空间两条直线的位置关系

位置关系

共面情况

公共点个数

相交直线

在同一平面内

有且只有一个

平行直线

在同一平面内

没有

异面直线

不同在任何一个平面内

没有

特别提醒

若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a,b两条直线．例如,如图所示的长方体ABCD。A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．