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学必求其心得,业必贵于专精
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1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.
2.会用数学归纳法证明不等式.
1.本节的有关结论
(1)n2<2n(n∈N+,n≥5).
(2)|sinnθ|≤n|sin_θ|(n∈N+).
(3)贝努利不等式:
如果x是实数,且x>-1,x≠0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n>1+nx。
贝努利不等式更一般的形式:当α是实数,并且满足α>1或者α<0时,有(1+x)α≥1+αx(x>-1),
当α是实数,并且满足0<α<1时,有(1+x)α≤1+αx(x>-1).
(4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…an的乘积a1a2…an=1,那么它们的和a1+a2+…+an≥n
【做一做1】用数学归纳法证明Ceq\o\al(1,n)+Ceq\o\al(2,n)+…+Ceq\o\al(n,n)>(n≥n0且n∈N+),则n的最小值为()
A.1B.2C.3D.4
解析:当n=1时,左边=Ceq\o\al(1,1)=1,右边=10=1,1>1不成立;
当n=2时,左边=Ceq\o\al(1,2)+Ceq\o\al(2,2)=2+1=3,右边==eq\r(2),3>eq\r(2),成立.
当n=3时,左边=Ceq\o\al(1,3)+Ceq\o\al(2,3)+Ceq\o\al(3,3)=3+3+1=7,
右边=31=3,7>3,成立.
答案:B
2.用数学归纳法证明不等式
使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由n=k时命题成立推出n=k+1时命题成立这一步.为完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识.
【做一做2】用数学归纳法证明式子“1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2n-1)<n(n∈N+,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()
A.2k-1B.2k-1
C.2kD.2k+1
解析:当n=k时,不等式1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+eq\f(1,4)+…+eq\f(1,2k-1)<k成立;
当n=k+1时,不等式的左边=1+eq\f(1,2)+eq\f(1,3)+…+eq\f(1,2k-1)+eq\f(1,2k)+eq\f(1,2k+1)+…+eq\f(1,2k+1-1),比较n=k时的不等式左边,可知左边增加了2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2k(项).
答案:C
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