初中数学人教版九年级上册：24.1.2垂直于弦的直径 课件.pptxVIP

24.1.2垂直于弦的直径

年级：九年级学科：初中数学(人教版)

研究思路：定义—————性质———关系

回顾直线的研究框架，你认为应该怎样进一步研究圆?

圆弦弧

A

B

?

项目活动探索性质

项目化活动1:剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么?

项目活动探索性质

通过折叠探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

用数学方法如何验证?

证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.

证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙0上

点C,D以外的任意一点.过点A作AB⊥CD,交⊙0于点B,垂

足为M,连接OA,OB.

在△OAB中，

∵OA=OB,

即CD是AB的垂直平分线.

这就是说，对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,

因此O0关于直线CD对称

∴△OAB是等腰三角形.

又AB⊥CD,

.∴AM=MB.

通过折叠探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.

园的生质

用数学方法如何验证?

圆是轴对称图形，任何一条

直径程的直生者直对称有时称

轴)的对称只也在圆工.

项目活动探索性质

项目化活动2:如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB,垂足为M.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?

线段：AM=BM

弧：AC=BC,AD=BD

在的直线对称，

重

AM与BM重合

③AM=BM

④AC=BC

⑤AD=BD

折叠时，

合.

一一人

是直径

②CD⊥AB

①CD

C

理由如下：

C

日

项目活动探索性质

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦

并平分弦所对的两条弧A

符号语言：

∵CD是直径，CD⊥AB,

∴AM=BMAC=BC,AD=BD.

D

0

Mb

C

B

是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心

想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是，请说明为什么?

①过圆心，

②垂直于弦，

一条直线(或线段)

D

”这个条件能去掉叫③平分弦，

①过圆符号语言：④平分弦所对的优弧，

②垂直于建直径，AM=BM,⑤平分弦所对的劣弧.

窗的两条直径是厢平分-BD.

D

士(6

垂径定理推论。

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦

1■

例2:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历

史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为

7.23m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).

解：如图，用AB表示主拱桥，设AB所在

圆的圆心为0,半径为R.

经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相较于点C,连接OA.根据垂径定理，D为AB的中点，C为AB的中点，CD就是拱高.

由题设可知：AB=37m,CD=7.23m.

OD=OC-CD=R-7.23

在Rt△OAD中，由勾股定理，得：

OA²=AD²+OD²

即R²=18.5²+(R-7.23)²

解得：R≈27.3m

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m

要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径

直径是圆中最长的弦

半圆是特殊的弧

圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦(非直径)的直径垂直于

弦，并且平分弦所对的两条弧

义质系

定性关

课堂小结收获反思

垂径定理推论

圆弦弧

称定

对径

性理

轴垂

圆

同学们，再见!