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七年级数学

提取公因式法、公式法

知识要点

板块一：因式分解的基本概念

因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.

因式分解与整式乘法互为逆变形：

式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式

因式分解的常用方法：

提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.

分解因式的一般步骤：

如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式

十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.

注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；

②结果一定是乘积的形式；

③每一个因式都是整式；

④相同的因式的积要写成幂的形式.

在分解因式时，结果的形式要求：

①没有大括号和中括号；

②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；

③单项式因式写在多项式因式的前面；

④每个因式第一项系数一般不为负数；

⑤形式相同的因式写成幂的形式.

板块二：提取公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数——取多项式各项系数的最大公约数；

字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.

板块三：公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

一些需要了解的公式：

例题精讲

板块一：因式分解的基本概念

判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.

⑴；⑵

⑶；⑷

观察下列从左到右的变形：

⑴；⑵

⑶；⑷

其中是因式分解的有（填括号）

板块二：提取公因式法

分解因式：

⑴； ⑵

⑶ ⑷

把下列各式进行因式分解：

⑴

⑵

分解因式：

⑴ ⑵

分解因式

⑴

⑵

分解因式：

分解因式：

⑴⑵

分解因式：

⑴(为正整数)

⑵(、为大于1的自然数)

分解因式：，为正整数.

化简下列多项式：

分解因式：.

先化简再求值，，其中，．

求代数式的值：，其中.

已知：，求的值.

若、、为的三边长，且，则按边分类，应是什么三角形？

板块三：公式法

因式分解：，结果正确的是（）

A．B． C． D．

因式分解：

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑸ ⑹

⑺

证明：两个连续奇数的平方差能被整除

利用分解因式证明：能被120整除．

分解因式：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷

分解因式.

分解因式：⑴ ⑵

分解因式：⑴；⑵

分解因式：

分解因式：⑴；

⑵；

分解因式：

已知，求值

若，，是三角形三边的长，则代数式的值()．

A.大于零B.小于零 C大于或等于零 D．小于或等于零

在实数范围内分解因式：

⑴；⑵

⑶⑷

⑴分解因式：

⑵分解因式：

分解因式

课后练习

分解因式：

分解因式：

不解方程组，求代数式的值．

分解因式：(为大于1的自然数)．

分解因式：

⑴

⑵

分解因式：

⑴

⑵

⑶

⑷

已知，求的值．

分解因式：⑴；

⑵.

，，是三角形的三条边，且则三角形是怎样的三角形?

若，，为正数，且满足，那么之间有什么关系？