专题7.5锐角三角函数的应用：方向角问题大题专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典（解析版）【苏科版】.pdfVIP

2021-2022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】

专题7.5锐角三角函数的应用：方向角问题

大题专项提升训练（重难点培优

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一、解答题（共24题）

1．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为163nmile的

圆形海域内有暗礁、一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间

的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，

轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？

【答案】有危险，60度

【分析】过点P作PB⊥AE，垂足为B，求出PB的长和163比较即可，作以点P为圆心，163nmile为半

径的⊙P，过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，利用特殊角的三角函数值可求．

【详解】解：过点P作PB⊥AE，垂足为B，

由题意得：∠PAB＝30°，

在Rt△PBA中∠PBA＝90°，AP＝32，

1

∴PB＝AP＝16，

2

∵16＜163，

∴轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．

作以点P为圆心，16nmile为半径的⊙P，

过点A作⊙P的切线AQ，切点为Q，连接PQ，

∵AQ切⊙P于点Q

∴∠AQP＝90°

∵PQ＝163，AP＝32

1633

∴sin∠PAQ＝==

322

∴∠PAQ＝60°

∴∠SAQ＝180°－60°－60°＝60°

∴轮船自A处开始沿南偏东至多60度方向航行才能安全通过这一海域．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的性质等知识，解题关键是作出恰当辅助线，利用三角函

数知识进行计算推理．

2．（2021·江苏·盐城市初级中学九年级期末）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛

D位于其东北方向上，且相距202海里，该渔船自西向东航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C恰好

在点B的正北方向上，且相距50海里，又测得∠ABD=α，且sinα=5．

5

（1）求点B与小岛D之间的距离；

（2）求cos∠DCB的值．

3

【答案】（1）205海里；（2）．

5

【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，解Rt△AED求得DE，再在Rt△BED中即可求得点B与小岛D之间的

距离；

（2）过D作DF⊥BC于F，分别求得DF和FC，再利用勾股定理即可求得DC，进而可求cos∠DCB的

值．

【详解】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，

在Rt△AED中，AD=202海里，∠DAE=45°，

∴DE=202×sin45°=20海里，

在Rt△BED中，∠ABD=α，且sinα=5，

5

∴sin∠ABD=,

520

即=，

5

∴BD=205海里

（2）过D作DF⊥BC于F，

在Rt△BED中，DE=20海里，BD=205海里

2

∴BE=2―2=205―202=40海里，

∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，

∴∠DEB=∠DFB=∠AB