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《复数的概念及其几何意义》知识探究

探究点1复数的概念

复数的代数形式为.对于复数,当且仅当时,复数是实数;当时,复数叫做虚数;当且时,叫做纯虚数;当且仅当时,就是实数0.

【要点辨析】

1.复数与实数的关系:

2.复数集与其他数集的关系:

(其中为自然数集,为整数集,为有理数集,为实数集,为复数集).

实数集和虚数集都是复数集的真子集,即虚数虚数.

学科素养:利用复数概念及其他数学知识解决问题,体现数学抽象核心素养

典例1[概括理解能力]下列命题:

①若,则

②的虚部是

③的实部是

④若实数与对应,则实数集与纯虚数集一一对应;

⑤已知全集为复数集,则实数集的补集是虚数集.

其中真命题的个数为（）

A.

B.

C.

D.

解析:掌握复数的概念并灵活运用是解决此类问题的关键.先将复数化为标准式,再根据复数概念解题.

当时,的实部是,虚部是2;令则不是纯虚数,实数集与纯虚数集一一对应不正确.所以只有③⑤正确.

答案:B

探究点2两个复数相等的充要条件

如果,那么

特别地:.

【要点辨析】

1.一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之也一样.

2.根据复数与相等的定义,可知在,两式中,只要有一个不成立,那么就有.

3.一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小;也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.

根据两个复数相等的充要条件可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组,从而可确定两个独立的参数,实现“化虚为实”的转化.

学科素养:通过两个复数相等的等价条件体现逻辑推理、数学运算的核心素养

典例2[推测解释能力、分析计算能力]已知成立,求实数的值.

思路:将所给式子中左端的复数先化成标准表达形式,再利用,列出含有待定参数的方程组,解方程组求解待定参数.

解析:因为,所以由,可得

解得,或

所以.

探究点3复数的几何意义

复数.

复数.

【要点辨析】

1.复数的实质是有序实数对.

2.复平面内的点的坐标是,而不是.也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.

3.当时,是纯虚数,所以虚轴上的点都表示纯虚数.

4.复数中的,书写时应小写;复平面内点中的,书写时应大写.

5.复数两种几何意义的统一

复数与复平面内的点及平面向量构成一一对应的闭环.

6.复数的两种几何意义使我们在讨论复数的运算、性质和应用时,可以在复平面内综合使用坐标法和向量方法,体现了解决数学问题的数形结合思想.

学科素养:利用数形结合思想,结合不等式、方程、平面向量知识体现直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养

典例3-1［观察记忆能力、推测解释能力］(四川成都一中期中)在复平面内,当实数取何值时,复数的对应点满足下列条件?

(1)在第三象限;

(2)在虚轴上;

(3)在直线上.

思路:由复数与复平面内的点一一对应的几何意义,根据所给点的具体位置,列出含有待定参数的不等式(组)或方程(组)并求解.

解析:复数对应点的坐标为.

(1)点在第三象限,则

解得所以.

(2)点在虚轴上,则解得或.

(3)点在直线上,则,即,所以.

典例3-2［分析计算能力、推测解释能力在复平面内的长方形的四个顶点中,点,,对应的复数分别是,求点对应的复数.

思路:由复数与平面向量的一一对应关系,找到已知复数所对应的平面向量,再利用向量知识进行计算,求出点对应的向量,进而求出点对应的复数.

解析:记为复平面的原点,由题意得,设,则,.

由题意知,,所以即故点对应的复数为.

探究点4复数的模与共轭复数

1..

2.通常记复数的共轭复数为,若,则.特别地,实数的共轭复数仍是本身.

在复平面内,如果用点表示,用表示,则点和点关于实轴对称.

【要点辨析】

1.计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,再利用复数模的公式进行计算.

2.两个虚数不能比较大小,它们的模可以比较大小.

3.复数的模是复数所对应的点到坐标原点的距离.

4.共轭复数具有几何特征和代数特征.

5.,利用这个性质可以证明一个复数为实数.

6.记住下列性质:(1)实数的共轭复数仍是本身,即这是判断一个复数是否为实数的一个准则;(2)共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数,应注意以下两个方面的特征:(1)几何特征:关于实轴对称;(2)代数特征:实部相等,虚部互为相反数.

学科素养:利用数形结合思想,结合两点间距离及对称性知识体现直观想象、数学运算的核心素养

典例4-1[分析计算能力]若与互为共轭复数,则对应的点位于()