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2024学年湖南师大附中高三数学第三次月考试卷

时量：120分钟满分：150分2024.11

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合的真子集个数是（）

A.7 B.8 C.15 D.16

2.“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（）

A. B. C. D.

4.设向量，满足，，则等于（）

A. B.2 C.5 D.8

5.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（）

A. B.

C.，且 D.，且

6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（）

A. B. C. D.

7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且，，则该三棱台的高为（）

A.1 B.4 C.7 D.1或7

8.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）

A.2 B.6 C.12 D.20

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若，则下列正确的是（）

A. B.

C. D.

10.对于函数和，下列说法中正确的有（）

A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值点

C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴

11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）

A.

B.直线恒过定点

C.点的轨迹方程是

D.的最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数，的模长为1，且，则________.

13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.

14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则的值为________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：

贷款

利润

A方案

一次性向银行贷款10万元

第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润

B方案

每年初向银行贷款1万元

第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元

两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.

（1）计算10年后，A方案到期一次性需要付银行多少本息？

（2）试比较A、B两方案的优劣.

（结果精确到万元，参考数据：，）

16.（本小题满分15分）

如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.

（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；

（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

17.（本小题满分15分）

已知函数，为的导数.

（1）证明：当时，；

（2）设，证明：有且仅有2个零点.

18.（本小题满分17分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，面积取得最大值.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，

①求的取值范围；

②求四边形的面积.

19.（本小题满分17分）

飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.

（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）

（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：

（记，）

1

若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.

（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；

（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求