近几年河南中考数学第22题.docVIP

22.〔10分〕〔2014河南〕〔1〕问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：〔1〕∠AEB的度数为；〔2〕线段AD、BE之间的数量关系是。

〔2〕拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

〔3〕解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=。假设点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。

22.〔1〕①60；②AD=BE.……………2分

〔2〕∠AEB＝900；AE=2CM+BE.………………4分

〔注：假设未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分〕

理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900,

∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,即∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE.………………6分

∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．…………………7分

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，

∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.

∴AE=DE+AD=2CM+BE………8分

(3)或…………10分

【提示】PD=1，∠BPD=900,

∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点．

第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/，

可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1,

CD=,∴BD=2,BP=,∴AM=PP/=(PB-BP/)=

第二种情况如图②，可得AMPP/=(PB+BP/)=

22.〔10分〕〔2013河南〕如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

〔1〕操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是_________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是_________________.

〔2〕猜测论证

M图3ABCDEN当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜测〔1〕中S1

M

图3

A

B

C

D

E

N

A

A(D)

B(E)

C

图1

A

C

B

D

E

图2

E

E

C

D

B

A

图4

〔3〕拓展探究

∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E〔如图4〕.

假设在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，

请直接写出相应的BF的长.

【解析】

试题分析：〔1〕①根据旋转的性质可得AC=CD,然后求出△ACD是等边三角形,根据等边三角形的性质可得∠ACD=60o,然后根据内错角相等,两直线平行解答;②根据等边三角形的性质可得AC=AD,再根据直角三角形30o角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离,然后根据等底等高的三角形的面积相等解答;

(2)根据旋转的性质可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用角角边证明△ACN和△DCM全等,根据全等三角形对应边相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面积相等证明;

试题解析：

〔1〕①线段DE与AC的位置关系是平行．②S1与S2的数量关系是相等．

证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知△ADC是等边三角形，DE∥AC，

∴DN=CF,DN=EM．

∴CF=EM．

∵∠ACB=90o,∠B=30o，图2

∴AB=2AC．

又∵AD=AC,

∴BD=AC．

∵S1=CF·BD,S2=AC·EM，图3

∴S1=S2．

证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.

∵∠DCE=∠ACB=90o∴∠DCG+∠ACE=180o．

又∵∠ACH+∠ACE=180o,∴∠ACH=∠DCG．

又∵∠CHA=∠CG