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《垂直于弦的直径（第一课时）》教案

教学目标

教学目标：1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并初步会用它解决有关的证明与计算问题；?

2.培养观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.??????????????

教学重点：垂径定理及应用.

教学难点：垂径定理的证明及应用.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

动手探究

1.提出问题：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

2.动手操作：多次对折圆形纸片.

3.得出结论：在折叠过程中引导学生观察对折后的

两部分是否能重合，能得到什么结论？

结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

如何证明圆是轴对称图形？

4、圆的轴对称性的证明

证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.

如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA＇⊥CD，交⊙O于点A＇，垂足为M，

连接OA,OA＇.

在OAA＇中，

∵OA=OA＇，

∴OAA＇是等腰三角形.

又AA＇⊥CD，

∴AM=MA＇

即CD是AA＇的垂直平分线.这就是说，对于圆上的任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A＇,因此⊙O关于直线CD对称.即

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

这种证明方法是证明一个图形是轴对称图形的常用方法.

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探究新知

提出问题：如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？

动手操作：学生通过动手实验不难得出只要作出垂直于弦AB的直径，沿着这条直径所在的直线对折即可.该图形是轴对称图形，对称轴是垂直弦的直径所在的直线.

观察猜想：设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？

AE=BE,

猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.

4.验证猜想：

利用圆的对称性证明可以得到点A和点B是对称点，把圆沿着直径CD所在直线折叠时，点A和点B重合，.

因此，AE=BE.

由此验证了猜想的正确性，这一重要结论称为垂径定理.

5.归纳定理：

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

符号语言：

注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦.

结论是③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.

6.巩固定理：

下列图形中，AB是⊙O的弦，它们是否适用垂径定理找到相等的线段或相等的弧？.

新知应用

例1如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.

分析：因为要求半径，所以还要连结OA.

OE⊥AB,利用勾股定理可得⊙O的半径.

解题过程如下：

例2如图，在⊙O中，直径OC⊥AB，垂足为E，CE=2cm，求⊙O的半径.

例2如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.

思路1：连接OA，OB，OC，OD．

证明△OAC≌△OBD

（证明△OAD≌△OBC）．

思路2：连接OA，OB，OC，OD．

过点O作OE⊥AB于点E，

根据等腰三角形的性质．

思路3：过点O作OE⊥AB于点E，

根据垂径定理．

证明：过点O作OE⊥AB于点E.

∵OE⊥AB，

∴AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE，

∴AC＝BD．

思考1：在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？

归纳1.在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。实际上，只需从圆心做一条与弦垂直的线段即可。

思考2：如果我们设圆的半径为，圆心到弦的距离为，弦长为，你能找到它们三者之间的关系式吗？

归纳2.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径，圆心到弦的距离，弦长之间的关系式.

课堂小结

1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

布置作业

1.如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则∠AOB＝度，点O到AB的距离为.

2.在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16,以C为圆心，AC为半径的圆

交斜边AB于D，求AD的长．

3.如图，在⊙O