北京大学《常微分方程》2022-2023学年期末试卷(1) .pdfVIP

课程名称：常微分方程

2022-2023学年第（1）学期期末本试卷共5道大题，满分100分

（考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师）

′

1.（35分）考虑空气阻力的单摆运动方程为：ᵰ=−sinᵰ−ᵰᵰ,这里ᵰ0...

(1)将其改写为方程组，给出所有奇点；(2).判断奇点的类型；(3).构造一个

Lyapunov函数，证明静止平衡态的稳定性；(4).在相平面内作出轨线的草图

（注意2π周期性）。

′

2.（15分）ᵆ2()

=−ᵆ在初值条件ᵆ0=−1下解是否唯一？如唯一，请给

√1

出这个解；如不唯一，请指出存在唯一性定理的什么条件不成立？

′3

3.（15分）讨论系统ᵆ=ᵰ−3ᵆ+ᵆ随参数ᵰ的分叉，并作出分叉图。

′′32

4.（15分）证明：ᵆ=ᵆ,ᵆ=−ᵆ+ᵆ−ᵆ−ᵆᵆ有极限环。

()′2

5.（20分）已知函数ᵅᵆ0,ᵅ()(),求证：(1).若将方程

ᵆ0,limᵅᵆ=ᵅ

x→+∞

ᵆ+ᵅ(ᵆ)ᵆ=0某一非零解的所有非负零点由小到大排成一个序列{ᵆ},则

ᵅ

;.(2).ᵅᵅᵅᵰ

()

ᵆ−ᵆᵆ−ᵆᵆ−ᵆ=

ᵅ+1ᵅᵅᵅ−1ᵅ+1ᵅ

ᵅ→+∞ᵅ

ᵰ′=ᵱ

1.(1)方程组{

ᵱ′=−ᵆᵅᵅᵰ−ᵰᵱ

奇点(kπ,0),k∈ℤ；

(2).k为奇数时，鞍点；k为偶数时，若0μ2,稳定的焦点，若μ≥2，汇；

(3).Lyapunov函数V=12

ω+1−cosθ，则V≥0,V′(t)=−μω^2≤0,静止平

2

衡态(0,0)渐近稳定；

(4)注意2π周期性以及(θ,ω;t)→(−θ,−ω;t)下方程组不变，轨线关于原点中

心对称。

2.不唯一，破坏了存在性定理中的Lipschitz连续性条件。

3

3.−3ᵆ+ᵆ在x=±1取得局部极值∓2

(1)ᵰ−2:.一个奇点，源；

(2)−2λ2:.三个奇点，由小到大依次为源、汇、源；

(3)ᵰ−2:.一个奇点，源。

分叉图如下。

()224

4.证法一：(1).内境界线：0,0为不稳定焦点；或构造V=x+y+x/2=

′(3)′′2(2)

1/9,易知其上V=2x+xx+2yy=2y1−x≥0;