专题06 圆中的相关证明及计算（讲练）.docx

专题06圆中的相关证明及计算（讲练）

考点要求

命题预测

圆的基本性质证明与计算

中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多.

与圆有关的位置关系

知识导图

考点一圆的基本性质证明与计算

真题演练

题型01圆中的角度和线段计算问题

提分笔记

圆的基础定理:垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题.

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=1

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

高分秘籍

垂径定理模型（知二得三）

如图，可得①AB过圆心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD

【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt

2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.

【利用圆周角定理解题思路】

1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.

2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.

3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．

4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．

1．（2023·广东广州·中考真题）如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE?BC的值和∠FDE的大小分别为（????

A．2r， B．0， C．2r，90°?α2 D．0，90°?

2．（2023·湖南·中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为．

3．（2023·江苏·中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的直径AD=．

4．（2023·湖北·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD=

题型02垂径定理的实际应用

1．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为寸．

2．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．

3．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．

问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414，

????

问题解决：

(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM

(2