南华大学大学物理(下)期末考试部分课后作业解答.docVIP

真空中的静电场习题解答

9－5一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零。

θRO解：设电荷线密度为λ，

θ

R

O

在圆弧上取一弧元ds=Rdφ

所带的电量为

dq=λds

在圆心处产生的场强的大小为

由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为

dEx=-dEcosφ

总场强为

θR

θ

R

O

x

dφ

dE

φ

方向沿着x轴正向。

再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．

θOE`E``xR根据上一题的公式③

θ

O

E`

E``

x

R

由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为

方向沿着x轴负向

当O点合场强为零时，必有，可得tanθ/2=1

因此θ/2=π/4，

所以θ=π/2

9－6一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。试求

平板所在平面内，离薄板边缘距离为的点处的场强。

解：建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为

dλ=σdx

根据直线带电线的场强公式

得带电直线在P点产生的场强为

Pb

P

b

a

O

x

dx

y

其方向沿x轴正向。

由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为

①

场强方向沿x轴正向。

9－7有一半径为的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为,求球心处的电场强度。

解:如图所示，在球面上任取一面元，其上带电量为，电荷元在球心处产生的场强的大小为

方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为

9－10两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2R1)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）rR1；（2）R1rR2；（3）rR2处各点的场强。

解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。

（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以

E=0，（rR1）

（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为q=λ

穿过高斯面的电通量为

根据高斯定理Φe=q/ε0，所以

，(R1rR2)

（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以

E=0，（rR2）

9－12一个均匀带电圆盘，半径为，电荷面密度为，求：

(1)轴线上任一点的电势（用表示该点至圆盘中心的距离）；

(2)利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。

解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距点处取一宽为的细圆环，其带电量为，在点处产生的电势为

所以，整个带电圆盘在点产生的电势为

轴线上的场强分布为

9－20电量q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：

（1）带电直线延长线上离中点为r处的电势；

（2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势；

（3）由电势梯度算出上述两点的场强。

解：电荷的线密度为λ=q/2

（1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为

dq=λdl

根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为

oxd

o

x

dl

y

L

r

-L

P1

l

总电势为

（2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq=λdl，在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为

，

积分得

olxx

o

lxx

x

dl

-L

L

y

r

θ

P2

（3）P1点的场强大小为

，①方向沿着x轴正向。

P2点的场强为

②方向沿着y轴正向。

9－21如习题9－21图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：

AOR1BR

A

O

R1

B

R2

rA

rB

（2）利用电势梯度求A，B两点的场强。

解：（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势。

在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为

dV=4πr2dr

包含的电量为

dq=ρdV=4πρr2dr

在球心处产生的电势为

OR

O

R1

R2

r

dr

球心处的总电势为

这就是A点的电势UA。

过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。

球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得

OR

O

R1

R2

rB

B

球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生