数学学案：直线方程的概念与直线的斜率.docxVIP

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数学人教B必修2第二章2。2。1直线方程的概念与直线的斜率

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，了解用代数的方法探索直线斜率的过程．

2．掌握过两点的直线斜率的计算公式,并能在实际问题中应用．

3．能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角．

1．直线方程的概念

由于函数y＝kx＋b（k≠0)或y＝b都是________方程，因此，我们也可以说，方程y＝kx＋b的解与其图象上的点存在一一对应关系．

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是__________，那么这个方程叫做____________，这条直线叫做__________．

直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之,这条直线上点的坐标都是这个方程的解．两个条件只要缺少一个，命题就是错误的．

【做一做1－1】在平面直角坐标系中,二、四象限角平分线所在的直线的方程为__________．

【做一做1－2】给出下列四个命题：

①一条直线必是某个一次函数的图象；

②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象必是一条不过原点的直线；

③若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解，则此方程叫做这条直线的方程；

④以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上，则这条直线叫做此方程的直线．

其中正确命题的个数是()．

A．0B．1C．2D．3

2．直线的倾斜角和斜率

（1）我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的______．

(2)两点斜率公式：已知直线上两点P1(x1，y1),P2（x2,y2），则直线的斜率k＝__________（x1≠x2)．

（3）倾斜角θ：

x轴正向与__________所成的角叫做这条直线的倾斜角，记为θ.

当直线l与x轴__________时，规定θ＝0°，故θ的取值范围是__________．

(4)斜率k与倾斜角θ的关系如图所示．

当倾斜角为锐角时，倾斜角越大,斜率越大，且均为正；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大,斜率越大,且均为负．但我们不能错误地认为倾斜角越大，斜率越大．

【做一做2】过点P(1,3)和Q(0，5)的直线的斜率为()．

A．2B．－2C．eq\f（1,2）D．－eq\f(1,2）

对直线斜率的全方位剖析

剖析:(1)斜率公式的适用范围．

经过两点P（x1，y1），Q(x2，y2）的直线的斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1），其适用范围是x1≠x2。说明如下:

①斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示．

②斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换（要一致）．

③如果y2＝y1(x2≠x1),则直线与x轴平行或重合，k＝0；如果x1＝x2，y1≠y2，则直线与x轴垂直，倾斜角θ＝90°,斜率k不存在．

（2）从运动变化的观点看斜率公式．

由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k与这两点在直线上的顺序无关，于是k＝eq\f（y1－y2,x1－x2)(x1≠x2)．如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量，于是k＝eq\f(Δy,Δx）(Δx≠0）．

(3）斜率的功能．

斜率是用来反映直线倾斜程度的一个量,它与倾斜角都反映倾斜程度，但倾斜角相对直观一些，而斜率较抽象，且倾斜角θ与斜率k有k＝tanθ这一关系式．结合图示说明如下：

如图所示，

直线PQ，直线PM，且直线MQ与y轴平行，由直线斜率公式：kPQ＝eq\f（Δy，Δx)，kPM＝eq\f(Δy′,Δx)，

由图易知Δy′＞Δy，∴kPM＞kPQ。

显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜程度要大．比如某人从点P沿直线PQ到达点Q,相对于从点P沿直线PM到达点M来说，此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲．

一般地，直线斜率为k，若有|k｜越大,反映直线相对于x轴倾斜程度越大；反之｜k｜越小，反映直线相对于x轴倾斜程度越小．

若kAB＝kAC，此时直线AB与直线AC的倾斜角相同，即三点A，B，C共线，因此可以利用斜率解决三点共线问题；但kAB＝kCD只能说明直线AB与直线CD倾斜角相同，不能说明A，B,C，D四点共线，因此要用斜率证明共线问题,而线段(或两条直线）必须有公共点才行．

题型一概念辨析题

【例1】下列四个命题：

①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角，叫做这条直线的倾斜角；

②直线l的倾斜角要么是锐角，要么是钝角；

③已知直线l经过P1(x1，y1）,P2(x2,y2）两点，则直线l的斜率k＝eq