福建省泉州市四校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含解析).docx

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2024—2025学年上学期期中考联考高二年段数学学科试卷

满分:150分考试时间:120分钟

第Ⅰ卷

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.

1.直线的倾斜角是(????)

A. B. C. D.不存在

【详解】直线与轴垂直,的倾斜角为.

故选:B.

2.如图.空间四边形OABC中,,点M在OA上,且满足,点N为BC的中点,则(????)

A.B.

C.D.

【详解】如图,.故选:B.

3.若方程表示椭圆,则实数m的取值范围为(????)

A. B.

C. D.

【详解】变形为,要表示椭圆需要满足,

解得.故选:C.

4.若点在圆的外部,则实数的取值范围是(????)

A.B.C.D.

【答案】C

【详解】解:因为点在圆的外部,

所以,解得.

故选:C.

5.若直线与曲线至少有一个公共点,则实数k的取值范围是()

A. B.C. D.

【答案】B

解析:直线l:恒过定点,

由,得到,

所以曲线表示以点为圆心,半径为1,且位于直线右侧的半圆(包括点,),如下图所示:

当直线l经过点时,l与曲线C有一个不同的交点,此时,

当l与半圆相切时,由,得,

由图可知,当时,l与曲线C至少有一个公共点,故选:B

6.下列说法正确的是(????)

A.若,则是钝角;

B.直线l的方向向量,平面的法向量,则;

C.直线l经过点,,则到l的距离为

D.若是空间的一组基底,则也是空间的一组基底

解析:对于A,若,则是钝角或平角,故A错误;

对于B,因为直线的方向向量,平面的法向量,

则,故与不共线,即不成立,故B错误;

对于C,因为,,,

则,,,

故到的距离为,故C错误;

对于D,利用反证法的思想,

假设三个向量共面,则,

所以,

若,则,则共线,

与是空间的一组基底矛盾;

若,则,则共面,

与是空间的一组基底矛盾;

所以假设不成立,即不共面,

所以也是空间的一组基底,故D正确;

7.已知直线过点,且与圆交于A,B两点,当面积最大时,l的方程为(????)

A. B.或

C. D.或

【答案】D

【详解】依题意,圆的圆心,半径,

显然,即点在圆内,设AB的中点为D,连接CD

设,则

面积

当且仅当即时等号成立

此时,圆心C到直线的距离

故过点P的直线斜率一定存在,设其方程为

则,解得或,

此时直线方程为或故选:D

8.已知O为坐标原点,P是椭圆E:上位于x轴上方的点,F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E于Q,R两点,,,则椭圆E的离心率为(????)

A. B. C. D.

【详解】

如图,设左焦点为,连接,,,

由题,,关于原点对称,所以四边形为平行四边形,

又因为,所以四边形为矩形.

设,又因为,则,

则,,,

在中,,即,

解得或(舍去),故,

由,所以,即,所以离心率.

故选:C.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知直角坐标系中,,满足的点的轨迹为,则下列结论正确的是(????)

A.上的点到直线的最小距离为

B.若点在上,则的最小值是-1

C.若点在上,则的最小值是-2

D.圆与有且只有两条公切线,则的取值范围是

解析:设

,,且,,

化简得:,,

圆心,所以上的点到直线的最小距离为

,故A正确.

令,即当与圆相切时取最值,

,此时或,的最小值是-1,故B正确.

令即,当与圆相切时取最值,

,此时或,

的最小值是,故C错误.

因为圆,所以圆心为,半径为与有且只有两条公切线,

所以,即,解得,故D正确.故选:ABD.

10.设是椭圆的两个焦点,是椭圆上一动点,则下列说法中正确的是(???)

A.的周长为 B.的最大值为36

C.满足的点P有两个 D.直线与圆相交

【详解】由,得,则,

因为是椭圆上一点,所以,

所以,故A正确;

对B:由,则,

当且仅当时,等号成立,故的最大值为36,故B正确;

对C:因为椭圆与圆有四个交点,故C错误;

对D:圆的圆心为,半径为,

则圆心到直线的距离,

由是上一点(除去与轴的交点),

故有且,

则,即,

则,即,

故直线与圆相交,故D正确.

故选:ABD

11.如图,正方体棱长为2,分别是棱,棱的中点,点M是其侧面上的动点(含边界),下列结论正确的是(????)

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为

B.过点的平面截该正方体所得的截面面积为

C.当时,点M的轨迹长度为

D.保持与垂直时,点M的运动轨迹长度为

【解】对于A中,如图所示

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