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2024—2025学年上学期期中考联考高二年段数学学科试卷
满分:150分考试时间:120分钟
第Ⅰ卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角是(????)
A. B. C. D.不存在
【详解】直线与轴垂直,的倾斜角为.
故选:B.
2.如图.空间四边形OABC中,,点M在OA上,且满足,点N为BC的中点,则(????)
A.B.
C.D.
【详解】如图,.故选:B.
3.若方程表示椭圆,则实数m的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【详解】变形为,要表示椭圆需要满足,
解得.故选:C.
4.若点在圆的外部,则实数的取值范围是(????)
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】解:因为点在圆的外部,
所以,解得.
故选:C.
5.若直线与曲线至少有一个公共点,则实数k的取值范围是()
A. B.C. D.
【答案】B
解析:直线l:恒过定点,
由,得到,
所以曲线表示以点为圆心,半径为1,且位于直线右侧的半圆(包括点,),如下图所示:
当直线l经过点时,l与曲线C有一个不同的交点,此时,
当l与半圆相切时,由,得,
由图可知,当时,l与曲线C至少有一个公共点,故选:B
6.下列说法正确的是(????)
A.若,则是钝角;
B.直线l的方向向量,平面的法向量,则;
C.直线l经过点,,则到l的距离为
D.若是空间的一组基底,则也是空间的一组基底
解析:对于A,若,则是钝角或平角,故A错误;
对于B,因为直线的方向向量,平面的法向量,
则,故与不共线,即不成立,故B错误;
对于C,因为,,,
则,,,
故到的距离为,故C错误;
对于D,利用反证法的思想,
假设三个向量共面,则,
所以,
若,则,则共线,
与是空间的一组基底矛盾;
若,则,则共面,
与是空间的一组基底矛盾;
所以假设不成立,即不共面,
所以也是空间的一组基底,故D正确;
7.已知直线过点,且与圆交于A,B两点,当面积最大时,l的方程为(????)
A. B.或
C. D.或
【答案】D
【详解】依题意,圆的圆心,半径,
显然,即点在圆内,设AB的中点为D,连接CD
设,则
面积
当且仅当即时等号成立
此时,圆心C到直线的距离
故过点P的直线斜率一定存在,设其方程为
则,解得或,
此时直线方程为或故选:D
8.已知O为坐标原点,P是椭圆E:上位于x轴上方的点,F为右焦点.延长PO,PF交椭圆E于Q,R两点,,,则椭圆E的离心率为(????)
A. B. C. D.
【详解】
如图,设左焦点为,连接,,,
由题,,关于原点对称,所以四边形为平行四边形,
又因为,所以四边形为矩形.
设,又因为,则,
则,,,
在中,,即,
解得或(舍去),故,
由,所以,即,所以离心率.
故选:C.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知直角坐标系中,,满足的点的轨迹为,则下列结论正确的是(????)
A.上的点到直线的最小距离为
B.若点在上,则的最小值是-1
C.若点在上,则的最小值是-2
D.圆与有且只有两条公切线,则的取值范围是
解析:设
,,且,,
化简得:,,
圆心,所以上的点到直线的最小距离为
,故A正确.
令,即当与圆相切时取最值,
,此时或,的最小值是-1,故B正确.
令即,当与圆相切时取最值,
,此时或,
的最小值是,故C错误.
因为圆,所以圆心为,半径为与有且只有两条公切线,
所以,即,解得,故D正确.故选:ABD.
10.设是椭圆的两个焦点,是椭圆上一动点,则下列说法中正确的是(???)
A.的周长为 B.的最大值为36
C.满足的点P有两个 D.直线与圆相交
【详解】由,得,则,
因为是椭圆上一点,所以,
所以,故A正确;
对B:由,则,
当且仅当时,等号成立,故的最大值为36,故B正确;
对C:因为椭圆与圆有四个交点,故C错误;
对D:圆的圆心为,半径为,
则圆心到直线的距离,
由是上一点(除去与轴的交点),
故有且,
则,即,
则,即,
故直线与圆相交,故D正确.
故选:ABD
11.如图,正方体棱长为2,分别是棱,棱的中点,点M是其侧面上的动点(含边界),下列结论正确的是(????)
A.沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B.过点的平面截该正方体所得的截面面积为
C.当时,点M的轨迹长度为
D.保持与垂直时,点M的运动轨迹长度为
【解】对于A中,如图所示
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