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《最短路径问题（第一课时）》教案

教学目标

教学目标：

（1）利用轴对称解决最短路径的问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想。

（2）在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力，渗透数学建模的思想。

教学重点：利用轴对称解决最短路径的问题

教学难点：如何利用轴对称将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

复习引入

在我们的学习生活中，接触过很多“最值问题”：最多最少，最长最短。

思考以下两个问题：

复习1：如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？

答：路线2最短，因为两点的所有连线中，线段最短，简称：两点之间，线段最短

复习2：点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？

答：PC最短，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

设计意图：复习“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”，为最短路径问题做好铺垫。通过识别，也让学生有动态的思想，在比较中，找到最短路径。

探索新知

教师：刚刚的两个问题都是识别最短路径，接下来，我们尝试通过画图，找到最短路径。

引例1：

如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短。

教师：

（1）点C是直线l上的一个动点。我们不妨先画一个一般的点C，连接CA，CB，我们的目标：找到一个点C，使得CA+CB最小。

（2）观察几何画板的演示：当C在运动的过程中，线段CA，CB也在移动，观察：什么时候线段和最短？

（3）同学们可以观察到：当C是线段AB和l的交点，即ACB共线时，CA+CB最短。依据是：两点之间，线段最短。

作图方法：连接AB，交直线l于点C，点C即为所求。

总结：

从一般的点C出发，从运动变化的角度观察图形，并用到“两点之间，线段最短”解决问题。

教师：

接下来，我们用这样的方法，研究数学史上经典的“牧马人饮马问题”。

例1：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

ABl

A

B

l

教师：

（1）实际问题，首先做什么？

将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达。

图形语言：

把AB两地看成两个点，把河近似看成一条直线，C为直线l上的一个动点。

文字/符号语言：

在直线l上求作一点C，使CA+CB最短

（2）观察几何画板：从一般的点C出发，连结CA，CB，观察：什么时候线段和最短？

遇到了问题：无法通过观察，找到满足条件的点C的位置。

（3）继续思考：

若AB在l异侧，只需连接AB即可。能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？

问题的关键：如何把同侧的点B移到另一侧B’，同时CB=CB’呢？

解决的方案：利用轴对称的知识。

做法如下：

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′交直线l于点C；

（3）则点C即为所求的点.

教师：如何证明这条路径最短？

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，只需证明AC+CBAC′+C′B即可。

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线.

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

根据两点之间，线段最短：AB′AC′+B′C′，

（△AB′C′中，两边之和大于第三边）

所以AC+B′CAC′+B′C′，

所以AC+BCAC′+C′B.

总结：

（1）实际问题可以抽象成数学问题，用数学语言（文、图、示）表达。需要注意，C是l上的动点，A，B为定点。

（2）轴对称的目的是转移线段，即：将点B转移到直线的异侧，同时CB=CB′，从而转化为研究过的引例：即两点之间，线段最短的问题。

练习：有两棵树位置如图，树的底部分别为A，B，地上有一只昆虫沿着A—B的路径在地面上爬行。小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处。问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置。

教师：类比例1分析方法。

（1）先把实际问题抽象成数学问题。小虫在A——B路径爬行，即小虫P是线段AB上一个动点，小鸟的路线为：DP，PC。那么D，C是两个定点。

（2）将文字转化成文/图/示的语言，在AB上求作一点P，使得PC+PD最短。

（3）回顾刚刚例1的做法即可。

转化成数学问题，迎刃而解啦。

能力提升

例2：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为_________.

思考：

（1）图形中，B，E，F三个点，哪些是定点，哪些是动点？

B，E是定点，F是线段AD上的动点

（2）剥离出基本图形，求作一点F，使