2024-2025学年广东省深圳市深圳中学高三上学期第二次诊断性测试数学试题含详解.docx

深圳中学2025届高三数学达标测试（14）

时间：2024年11月23日命题人：王晓蕃江梓帆

一,选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集,集合,,则（???）

A． B． C． D．

2．不等式的解集为（???）

A． B． C． D．

3．已知边长为2的正方形中,与交于点,则（???）

A．2 B． C．1 D．

4．在斜三棱柱中,,分别为侧棱,上的点,且知,过,,的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为（????）

A． B． C． D．

5．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．已知是等比数列,则甲：数列为递增数列,乙：,恒成立,则甲是乙的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知实数,满足,若下列四个数,,,经过适当排序后构成公差为的等差数列,则（????）

A． B． C． D．

8．若是函数的一个零点,则（????）

A．5 B．4 C．3 D．2

二,选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分．

9．已知直线,是异面直线,点为空间中一点,且不在直线,上,则下列说法一定正确的是（????）

A．存在过点的平面与,都相交 B．存在过点的平面与,都平行

C．存在过点的直线与,都相交 D．存在过点的直线与,都垂直

10．已知,记在的最小值为,在的最小值为,则下列情况可能成立的是（????）

A．, B．,

C．, D．,

11．已知由实数构成的数列满足,则以下说法正确的是（???）

A．存在且,使

B．若,则数列是递增数列

C．若,则数列的最大项为

D．若,设,的前项和为,则

三,填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．

12．已知空间中三点,则点A到直线的距离为．

13．已知圆台的高为1,下底面的面积,体积为,则该圆台的外接球表面积为．

14．在平面直角坐标系中,已知点在曲线上运动,点在曲线上运动,点,为中点,则的最小值为．

四,本题共5小题,共77分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤．

15．如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝,BC＝1,P为△ABC内一点,∠BPC＝90°.

(1)若PB＝,求PA.

(2)若∠APB＝150°,求tan∠PBA.

16．已知数列满足,

(1)记,写出,,并证明数列为等比数列.

(2)求的前项和．

17．如图,在多面体中,四边形是菱形,,平面,,．

(1)证明：平面平面.

(2)过作平面的垂线,垂足为,求到平面的距离．

18．已知函数.

(1)当时,求证：

①当时,.

②函数有唯一极值点.

(2)若曲线与曲线在某公共点处的切线重合,则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”,求,的值.

19．已知集合,其中,,,…,是的互不相同的子集.记的元素个数为（）,的元素个数为（）.

(1)若,,,,,写出所有满足条件的集合（结论不要求证明）.

(2)若,且对任意的,都有,求的最大值.

(3)若给定整数,（）且对任意,都有,求的最大值.

1．D

【分析】先求出集合A,然后求出,进而求得.

【详解】由,得,所以.

因为,所以.

所以.

故选：D.

2．C

【分析】根据题意,由条件可得,即可得到结果.

【详解】,则,解得,故原不等式的解集为．

故选：C

3．A

【分析】找基底分别表示,然后计算即可.

【详解】由题可知,,.

所以

故选：A

4．A

【分析】由已知中三棱柱的侧棱和上各有一动点,满足,可得四边形与四边形的面积相等,等于侧面的面积的一半,根据等底同高的棱锥体积相等,可将四棱锥的体积转化三棱锥的体积,进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的,求出四棱锥的体积,进而得到答案.

【详解】设三棱柱的体积为

侧棱和上各有一动点,满足.

四边形与四边形的面积相等.

故四棱锥的体积等于三棱锥的体积等于.

则四棱锥的体积等于.

故过,,三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积比为

故选：.

??

5．B

【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象,再对实数的取值进行分类讨论即可.

【详解】根据题意可得,在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：

由图可知,当或时,两图象相交.

若的值域是,以实数为分界点,可进行如下分类讨论：

当时,显然两图象之间不连续,即值域不为.

同理当,值域也不是.

当时,两图象相接或者有重合的部分,此时值域是.

综上可知,实数的取值范围是.

故选：B

6．C

【分析】利用充分必要条件的定义,分别讨论甲乙的