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专题13概率综合问题

【典型例题】

例1．（2023·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．

(1)设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；

(2)记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望．

【解析】（1）甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，

所以，，，

令，得；令，得；令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为．

（2）由（1）知，由题意，知X的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为

，

，

，

所以X的分