第25讲数列不等式的经典放缩问题.docx

第25讲数列不等式的经典放缩问题

【题型归纳目录】

题型一：裂项放缩

题型二：等比放缩

题型三：通项放缩

题型四：函数放缩

【典型例题】

题型一：裂项放缩

例1．记为的前项和，已知，是公差为2的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

【解析】解：（1），是公差为2的等差数列，

，

，

即，

当时，，

即，

，又，

数列是以3为首项，3为公比的等比数列，

，则．

（2）证明：由（1）得：，

，

，

．

例2．设数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）记，，求证：．

【解析】解：（Ⅰ）当时，．因为，所以，解得

（Ⅱ）当时

所以①，

②