第10讲 卡根思想在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第讲根思想在导数中的应用

10

（高阶拓展、竞赛适用）

（核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

求在曲线上一点处的切线方程

卡根思想在导数中用导数判断或证明已知函数的单调性

2023年全国甲卷理数，第21题,12分

的应用.根据极值求参数

由函数对称性求函数值或参数

卡根思想在导数中利用导数求函数的单调区间(不含参)

2023年全国乙卷理数，第21题,12分

的应用利用导数研究不等式恒成立问题

卡根思想在导数中利用导数研究方程的根

2022年新I卷，第22题,12分

的应用由导数求函数的最值(含参)

卡根思想在导数中求在曲线上一点处的切线方程(斜率

2022年全国乙卷理数，第21题,12分

的应用利用导数研究函数的零点

卡根思想在导数中利用导数求函数的单调区间(不含参)

2021年全国甲卷理数，第21题,12分

的应用利用导数研究方程的根

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数解决函数基本问题

2能用卡根思想结合零点存在性定理综合解题

【命题预测】在零点个数及方程的根等综合问题研究中，参变分离和数形结合都是解题的方法，但也都有

局限性，同时对函数图像画法要求较高；包括在零点个数研究中还有放缩方法，但是放缩的不等式变化较

多，这样对学生又提出了比较严苛能力要求。此时卡根法是此类题型的另一方法。同时卡根法也常应用于

导数研究函数性质的过程中，其本质是虚设零点（设而不求），利用零点满足的关系式化简，从而得到范围

或符号。高考中常用的解题方法，需要学生复习中综合掌握

1

知识讲解

“卡根”问题的一般方法，其具体步骤如下

1.根据函数的增长速度判断函数值变化的趋势，以便确定是否存在零点;

2.根据函数表达式的特点进行拆分，一般拆分成和或乘积形式;

3.根据函数的增长速度，将指、对数函数放缩成幂函数及其和的形式;

4.根据相关不等式的解集，利用零点存在定理来确定零点存在的区间

零点存在性定理：

如果函数yfx在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数



yfx在区间a,b内必有零点，即xa,b，使得fx0

