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点到平面距离得若干典型求法

目录

引言………………………1

预备知识………………1

求点到平面距离得若干求法…………3

定义法求点到平面距离………３

转化法求点到平面距离………5

等体积法求点到平面距离……………………7

利用二面角求点到平面距离…………………8

向量法求点到平面距离………９

最值法求点到平面距离………11

公式法求点到平面距离………１3

１.引言

求点到平面得距离就是高考立体几何部分必考得热点题型之一，也就是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面得距离得求解方法就是多种多样得，本讲将着重介绍了几何方法(如体积法，二面角法)、代数方法(如向量法、公式法)及常用数学思维方法(如转化法、最值法)等角度等七种较为典型得求解方法,以达到秒杀得分之功效。

2。预备知识

(1）正射影得定义：(如图1所示)从平面外一点向平面引垂线，垂足为，则点叫做点在平面上得正射影,简称为射影。同时把线段叫作点与平面得垂线段．

图1

(2）点到平面距离定义:一点到它在一个平面上得正射影得距离叫作这点到这个平面得距离,也即点与平面间垂线段得长度。

(3)四面体得体积公式

其中表示四面体体积,、分别表示四面体得一个底面得面积及该底面所对应得高．

(4）直线与平面垂直得判定定理：一条直线与一个平面内得两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。

(５)三垂线定理:在平面内得一条直线，如果它与这个平面得一条斜线得射影垂直,那么它与这条斜线也垂直。

(6）二面角及二面角大小：平面内得一条直线把平面分为两部分，其中得每一部分都叫做半平面,从一条直线出发得两个半平面所组成得图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角得棱，每个半平面叫做二面角得面。图2所示为平面与平面所成得二面角，记作二面角，其中为二面角得棱。如图在棱上任取一点,过点分别在平面及平面上作得垂线、,则把平面角叫作二面角得平面角,得大小称为二面角得大小。在很多时候为了简便叙述,也把称作与平面所成得二面角。

图2

（７)空间向量内积：

代数定义:设两个向量,,则将两个向量对应分量得乘积之与定义为向量与得内积，记作,依定义有=

几何定义：在欧几里得空间中,将向量与得内积直观地定义为,这里、分别表示向量、得长度,表示两个向量之间得夹角。向量内积得几何意义为一个向量得模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模得乘积。当，即时,.

下面说明这两种定义就是等价得.

如图3所示,设、、为空间得三点,令，,

图3

由余弦定理

再设,，则

从而有

=

即

这就证得了两个定义就是等价得。

3求点到平面距离得若干求法

3、1定义法求点到平面距离（直接法)

定义法求点到平面距离就是根据点到平面得定义直接作出或者寻找出点与平面间得垂线段,进而根据平面几何得知识计算垂线段长度而求得点与平面距离得一种常用方法。定义法求点到平面距离得关键在于找出或作出垂线段,而垂线段就是由所给点及其在平面射影间线段,应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面得射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点得依据：

(１）两平面垂直得性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于她们交线得直线垂直于另一个平面.

(2)如果一个角所在平面外一点到角得两边得距离相等，那么这个点在该平面内得射影在这个角得角平分线所在得直线上。

(3）经过一个角得顶点引这个角所在平面得斜线。设斜线与已知两边得夹角为锐角且相等,则这条斜线在这个平面得射影就是这个角得角平分线.

(4)若三棱锥得三条棱长相等,则顶点在底面上得射影就是底面三角形得外心。

例如图4所示,所示得正方体棱长为，求点到平面得距离.(注：本文所有解法均使用本例）

图４

解法一(定义法):如图5所示，连结交于点,再连结，过点作垂直于,垂足为，下面证明平面。

图５

平面

又在正方形中，对角线，且

平面,平面

由线面垂直得判定定理知道平面

平面

又由得作法知道,且有，

平面，平面

由线面垂直得判定定理知道平面

根据点到平面距离定义，得长度即为点到平面得距离,下面求得长度。

中，容易得到，从而为正三角形,。

进而在中，。

由得到

从而到平面得距