第16讲 拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第讲拉格朗日中值定理在导数中的应用

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（高阶拓展、竞赛适用）

（类核心考点精讲精练）

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命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】1能用导数解决函数基本问题

2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义

3能运用拉格朗日中值定理解题

【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目

往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解

题的好处，需学生灵活学习

知识讲解

1.拉格朗日（Lagrange）中值定理

若函数f（x）满足如下条件：

（）（）在闭区间，上连续；

1fx[ab]

（）（）在开区间（，）内可导．

2fxab

fbfa



则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f．



ba

2.拉格朗日中值定理的几何意义

yfx

如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于

曲线两端的连线．

1

3.需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于

3

切线斜率,如=在=0处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0

4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式

fbfafbaab

，

fbfafababa01

，



fahfafahh01

．

注：拉格朗日公式无论对于ab还是ab都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当01

aabab

时，．

考点一、拉格朗日中值定理的认知及简单应用

123-24··

．（高三上陕西汉中阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果

yfxa,ba,ba,b

函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点c，使得

fbfafcbafxa,b

“”

成立，其中c叫做在上拉格朗日中值点，根据这个定理，判断函数

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