2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第54炼 数列求和（含通项公式与求和习题含答案.pdfVIP

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第54炼数列求和(含

通项公式与求和习题第54炼数列求和问题

数列求和问题是高考数列中的一个易考型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通

项公式(或者项)的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所

以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法

一、基础知识：

1、根据通项公式的特点求和：

(1)等差数列求和公式：5”^^.〃二册;+〃+1)

cn(n-\]t

S〃=W+―—d

%(iw).

(2)等比数列求和公式：S=qM

W，g=I

(3)错位相减法：

通项公式特点：%二等差x等比，比如4=〃.2，其中〃代表一个等差数列的通项公式(关

于〃的一次函数)，2”代表一个等比数列的通项公式(关于〃的指数型函数)，那么他可以

使用错位相减法

方法详解：以。“=(2〃-1)-2〃为例，设其前〃项和为5”

①先将S“写成〃项和的形式S〃=12+32++(2〃—1)-2”

②两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列

S〃=1.2i+3+，・+(2〃-1).2

2S„=1-22+3m+.+(2〃-3)・2”+(2〃—12日，发现乘完公比后，对比原

式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。

③然后两式相减:=14+2(22+23+…+2”)一(2几一12向除了首项与末项,中

间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出S”即可

-S〃=1•。+2(2?+2+…+2〃)一(2〃-1)•2H+,

=2+2,4(；[)_(2〃_])2向

=(3-2/z)-2M+,-6

所以S”=2（3）2・”“+6

对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？

通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比

时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等

差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的

条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和

（4）裂项和消：

通项公式特点：〃”的表达式能够拆成形如q=〃〃）一/（〃一女）的形式（女=1,2,--），从

而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目

的。其中通项公式为分式和根式的居多

方法详解：以%=,I八为例

1I/11AI

①裂项：考虑/=/1一一—这（里/（〃）=上），在裂项的过程中把握两

〃（〃+2）2V?«4-2Jn

点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的L,」一结构相同，且分母为相

n〃+1

邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式