2024-2025学年北京市西城区第四中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）.docx

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2024-2025学年北京市西城区第四中学高三上学期期中考试数学试题

一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U=R，集合A=xx2?40，B=x

A.1,2 B.?2,2 C.?∞,2 D.?2,1

2.不等式1x1x?1

A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.0,

3.已知边长为2的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，则AE?BC=

A.2 B.?2 C.1 D.?1

4.已知函数fx=3?x?2x，则当x0时，f

A.最大值3+22 B.最小值3+22 C.最大值3?2

5.设a,b∈R，则“ab”是“a2b

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的终边关于y轴对称.若cosα2=23

A.19 B.?19 C.4

7.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用.科学研究表明，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q=Q0e?ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a为常数.经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过280年将有一半的臭氧消失.如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n约为(????)

A.280 B.300 C.360 D.640

8.已知函数fx=x+1,x≤a2x,xa,若f(x)的值域为

A.(?∞,0] B.[0,1] C.[0,+∞) D.(?∞,1]

9.已知a0，记y=sinx在a,2a的最小值为sa，在2a,3a的最小值为ta

A.sa0，ta0 B.sa0，ta0 C.

10.已知在数列an中，a1=a，命题p:对任意的正整数n，都有an+1=anan?2.若对于区间

A.3,4 B.2,3 C.3211,16

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知复数z=5i2?i，则z=??????????

12.已知函数fx=log3x,x0,x3,x0.

13.已知幂函数y=xα的图像经过A0,0，B1,1，C?1,1，D4,2中的三个点，写出满足条件的一个

14.在?ABC中，tanA=14，

(1)∠C=??????????；

(2)若?ABC的最长边的长为17，则最短边的长为??????????．

15.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φx组成的集合：对于函数φx，存在一个正数M，使得函数φx的值域包含于区间?M,M.例如，当φ1x=x

给出下列命题：

①“函数fx∈A”的充要条件是“?t∈R，关于x的方程

②“函数fx∈B”的充要条件是“

③若函数fx，gx的定义域相同，且fx∈A，

④若函数fx，gx的定义域相同，且fx∈A，

其中，正确命题的序号是??????????．

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题12分)

已知函数fx=sinωxcosφ+cosωxsinφ，其中

(1)求φ的值；

(2)若fx与x轴相邻交点间的距离为π2，求fx在区间

17.(本小题12分)

在?ABC中，2ccos

(1)求∠C的大小；

(2)若c=3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得?ABC存在，求

条件①：?ABC的面积为2

条件②：b?a=1；

条件③：sinB?

注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.(本小题12分)

已知函数fx

(1)求fx

(2)若关于x的不等式f′x?x+a有解，求实数a

19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2?b2=1(ab0)的左顶点为A，C的长轴长为4，焦距为23.过定点Tt,0(t≠±2)作与x轴不重合的直线交C

(1)求C的方程；

(2)是否存在点T，使得OM?ON等于定值13？若存在，求

20.(本小题12分)

已知函数fx=xe

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；

(2)若函数fx是单调递增函数，求a

(3)当a≥0时，是否存在三个实数x1x2x

21.(本小题12分)

已知集合A={1,2,3,?,n}，其中n∈N?，A1，A2，…，Am是A的互不相同的子集.记Ai

(1)若n=4，m=3，A1=1,2，A2=1,3，

(2)若n=5，且对任意的1≤ij≤m，都有Nij0，求

(3)若给定整数n≥7，M