圆的最值模型之瓜豆模型（原卷版）（北师大版） .pdf

专题圆的最值模型之瓜豆模型

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一、模型说明

问题1如图，是圆上一个动点，为定点，连接，为中点．当点在圆上运动时，点轨迹

.POAAPQAPPOQ

是？

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，

QMAQ1

任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．

POAP2

问题2如图，△是直角三角形，∠且，当在圆运动时，点轨迹是？

.APQPAQ=90°AP=2AQPOQ

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

又∵AP：AQ2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM2：1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

模型总结：

条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠是定值）；

PAQ

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（是定值）．

AP:AQ

结论：（）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠∠；

1PAQ=OAM

（）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：，也等于两圆半径之比．

2AP:AQ=AO:AM

二、例题精讲

1OBC2PO

例．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连

ABCABAB4

CPCPRtPCDDCP60

接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为．

PCODOD

1

2AC2AO82APB60BPAP

例．如图，已知，平面内点P到点O的距离为，连接AP，若且，

2

连接，，则线段的最小值为．

ABBCBC

3Rt△ABCRt△ADECEP

例．如图，中，，中，，直线与交于，当EAD

ABAC122ADAE62BD

A