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专题09因式分解及其运用

【专题解读】因式分解是在整式运算的基础上的后续学习内容，因式分解的理论依据就是多项式乘法的“逆”变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义.

思维索引

例1.已知下列等式：（1）32－12＝8，（2）52－32＝16，（3）72－52＝24，…

（1）根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；

（2）利用（1）中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.

例2.有若干块长方形和正方形硬纸片如图①所示，用若干块这样的硬纸片可以拼成个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图②可以得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.小明拼成了如图③的图形，请解答下列问题：

（1）根据图中面积关系，写出图③所表示的数学等式.

（2）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a＋8b）（7a＋4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？

（3）若小明拼成的图③中的大长方形面积为310cm2，其中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2，试求该大长方形的周长.

素养提升

1.下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（）

A. B.

C. D.

2.已知能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值有（）

A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

3.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册里，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：苏、爱、我、江、游、美，现将因式分解结果呈现的密码信息可能是（）

A.我爱美 B.江苏游 C.我爱江苏 D.美我江苏

4.现有一列式子：①；②；③；…，则第⑧个式子的计算结果用科学计数法可表示为（）

A. B. C. D.

5.设N＝23x＋92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正数对（x，y）共有（）

A.13对 B.27对 C.32对 D.36对

6.若x2－5x＋b＝(x－2)(x－a)，则ab的值是.

7.已知关于x的多项式2x2－11x＋m分解因式后有一个因式是x－3，根据这个条件，则m的值是.

8.已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则x2－6xy＋9y2的值是.

9.分解因式，并根据你发现的规律，直接写出多项式（n≥2且n为正整数）分解因式的结果是.

10.设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式能化简为若能，则满足条件的k2的值是.

11.将下列多项式因式分解：

（1）； （2）；

（3）； （4）.

12.在因式分解的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对因式分解的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性.根据课堂学习的经验，解决下列问题：

（1）如图①，边长为（k＋3）的正方形纸片，剪去一个边长为k的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积是（用含k的式子表示）；

（2）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（a＜b）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为；

（3）一个大正方形和4个大小完全相同的小正方形按图②，图③两种方式摆放.求图③中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m、n的式子表示）.

13.拓展创新：已知a，b，c是△ABC的三边.

（1）若满足，a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围；

（2）若a2＋2b2＋c2＝2ab＋2bc，请你判断△ABC的形状？

（3）请你直接说明：（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

14.观察阅读：；；；

（1）请你写出等式的结果：＝；

（2）根据上述规律，猜想下列等式的结果，

＝；

（3）利用（2）中得到的结论计算：

①； ②

15.当我们看到下面这个数字算式＝＝时，大概会觉得算题的人错用了运算法则吧，因为我们知道≠；但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我