计算方法习题集及答案.docVIP

习题一

什么叫数值方法？数值方法的根本思想及其优劣的评价标准如何？

数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法

试证明及

证明：

〔1〕令

即

又

即

=2\*GB2⑵设，不妨设，

令

即对任意非零，有

下面证明存在向量，使得，

设，取向量。其中。

显然且任意分量为，

故有即证。

古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？

解：

该近似值具有7为有效数字。

假设T(h)逼近其精确值T的截断误差为

其中，系数与h无关。试证明由

所定义的T的逼近序列的误差为，

其中诸是与h无关的常数。

证明：当m=0时

设m=k时等式成立，即

当m=k+1时

即证。

习题2

试构造迭代收敛的公式求解以下方程：

〔1〕;(2)。

解：

〔1〕迭代公式，公式收敛

k

0

1

2

3

0

〔2〕，，局部收敛

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：

〔1〕,对应迭代公式;

〔2〕，对应迭代公式;

〔3〕,对应迭代公式。

判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。

解：

〔1〕局部收敛

〔2〕局部收敛

〔3〕不是局部收敛

迭代公式〔1〕：

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1.465534

迭代公式〔2〕：

k

0

1

2

3

4

5

6

在[a,b]内有一根，在[a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部收敛于的迭代公式。

解：

方程等价于

构造迭代公式

令

由于在[a,b]上也一阶可微

故上述迭代公式是有局部收敛性.

设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有局部收敛性。

证明：

在邻近有连续一阶导数，那么在附近连续，

令那么取

那么时有

从而

故

令，

由定理知，迭代公式是有局部收敛性。

用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值〔精确到小数点后两位〕。

解：

y次迭代公式

k

0

1

2

3

试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。

解：

令

y次迭代公式

故

从而，时，

故，

故牛顿迭代公式是线性收敛的

应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。

解：

相应的牛顿迭代公式为

迭代函数，，

那么，

习题3

设有方程组

考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；

用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。

解：〔1〕A是强对角占优阵。

故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。

〔2〕

雅克比法：

，，，

取初始向量，迭代18次有〔i=1,2,3〕

，，

高斯-塞德尔法：

，，

取初始向量，迭代8次有〔i=1,2,3〕

，，

设有方程组,,

迭代公式：,.

求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.

证明：

迭代公式中的矩阵，，

由迭代收敛的充要条件知即证。

用SOR方法解以下方程组〔取松驰因子〕,要求.

.

解：SOR方法

故，

迭代初值

k

0

1

2

3

4

268

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

用选列主元高斯消去法求解方程组

解：

解得

用追赶法解三角方程组

解：高斯迶元

回代得

解为

用三角分解法求解方程组

解：系数矩阵三角分解为：

原方程可表为：

解得

解

得

用选主元法去法计算以下行列式的值.

解：

设计算.

解：

习题四

给出概率积分

的数据表：试用二次插值计算.

X

f(x)

解：取插值节点：

y=sinx的函数表

X

sinx

试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保存5位小数)，并估计其误差.

解：由题意得如下差商表

故

又

故：

设为互异节点(),求证

(1)

(2)

证明：令

又

所以故

原等式左边用二项式展开得：

由结论得

即证

假设,求和.

解：