专题06 分式方程（讲义）.docx

第06讲分式方程

目录

TOC\o1-2\h\u考点一解分式方程 2

题型01判断分式方程 2

题型02分式方程的一般解法 3

题型03分式方程的特殊解法 3

题型04错看或错解分式方程问题 6

题型05解分式方程的运用（新定义运算） 7

题型06根据分式方程解的情况求值 8

题型07根据分式方程有解或无解求参数 8

题型08已知分式方程有增根求参数 9

题型09已知分式方程有整数解求参数 9

考点二分式方程的应用 11

题型01列分式方程 11

题型02利用分式方程解决实际问题 12

考点要求

新课标要求

命题预测

解分式方程

能解可化为一元一次方程的分式方程

中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．

分式方程的应用

能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性

考点一解分式方程

1、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2、增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.

易混易错

1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.

2.去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.

3.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．

5.解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.

6.分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.

题型01判断分式方程

【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12?3=0；③2x?1+31?x

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式1-1】（2022南明区二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（???）

A．x2?3=x5 B．12x?

题型02分式方程的一般解法

【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1x?1+3=3x1?x去分母，两边同乘

A．1+3=3x1?x B．1+3

C．x?1+3=?3x D．1+3

【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1x+2+x+6

【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程：4x2+x

【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3x+2与代数式2x?1的值相等，则x＝

【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2x+1

方法技巧

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.

题型03分式方程的特殊解法

类型一分组通分法

方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.

【例3】解方程：3x?2

类型二分离分式法

方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解

【例4】解方程：x+5

类型三列项相消法

方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1nn+1

【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12?13，1

【变式5-1】因为11×2

所以11×2

(1)在和式11×2+1

(2)解方程：1x+1

【变式5-2】探索研究：

请观察：

①1x

②1x

③1x

④1x

……

(1)请写出第n个等式；

(2)解方程：1x

(3)当m为正整数时，12+1

【变式5-3】探索发现：

11×2

根据你发现的规律，回答下列问题：

（1）14×5＝_，1n×(n+1)＝_

（2）利用你发现的规律计算：1

（3）利用规律解方程：1

类型四消元法

方法简介：当方程中的分式互为倒数，或不同分式中的分母互为相反式，或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时，可考虑用换元法.

【例6】用换元法解分式方程xx2?1+2

【变式6-1】阅读与思考

阅读下面的材料，解答后面的问题．

解方程：x?1x

解：设y=x?1x，则原方程可化为y?4y=0

解得y=±2，

经检验：y=±2都是方程y?4y=0的解，∴当y=2时，x?1

当y=?2时，x?1x=?2