第05讲 平面向量之极化恒等式（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第讲平面向量之极化恒等式

05

（高阶拓展、竞赛适用）

（类核心考点精讲精练）

2

在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影

法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角

度来综合解题。

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的

几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几

何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移

转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。

知识讲解

极化恒等式



22

(ab)(ab)

ab

4

恒等式右边有很直观的几何意义:

1

向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

4

，

恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系



如图在平行四边形ABCD中,

ABa,ADb

1



22

(ABAD)(ABAD)

则ab

4

在上述图形中设平行四边形ABCD对角线交于M点,则对于三角形来说:



222

(ABAD)(ABAD)2|DB|

ab|AM|

44

极化恒等式的适用条件

(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化

(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问

题

在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下

第一步取第三边的中点，连接向量的起点与中点:;

第二步利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差:;

第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积

如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小

于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值范围。()

考点一、极化恒等式求值

1．（全国高考真题）设向量·满足，，则

A1B2C3D5

．．．．

【答案】A

方法一：基本方法，详见解析版

方法二：极化恒等式