第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第讲平面向量中的范围与最值问题

06

（高阶拓展、竞赛适用）

（类核心考点精讲精练）

2

平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识

点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围

的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前

两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。

本讲内容难度较大，需要综合学习。

知识讲解

1.模长的范围及最值



22

与向量的模有关的问题一般都会用到,a|a|，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。

2.夹角的范围及最值

类别几何表示坐标表示

模|a|＝a·a22

|a|＝x＋y

11

xx＋yy

a·b1212

夹角cosθ＝cosθ＝

|a||b|2222

x＋y·x＋y

1122

结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。

1

考点一、模长的范围及最值问题





1．（浙江高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足·，则c

abc(ac)(bc)0

的最大值是

A1B2CD

．．．．

【答案】C

【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，

，表示