第11讲 相关定理在解三角形中的综合应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第讲相关定理在解三角形中的综合应用

11

（高阶拓展、竞赛适用）

（类核心考点精讲精练）

8

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分

【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用

2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用

【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习

知识讲解

1

1.海伦-秦九韶公式

abc

三角形的三边分别是、、，

则三角形的面积为Sp(pa)(pb)(pc)

abc

其中p，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

2

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式:

2

222

122abc

Sab

42



2.三倍角公式

3

sin33sin4sin，

2

cos34cos3cos

3.射影定理

，，

abcosCccosBbacosCccosAcacosBbcosA

4.角平分线定理

ABAC

（）在中，为的角平分线，则有

1ABCADBAC

BDCD

BAC

2bccos

2

（）2

AD

bc

32

（）ADABACBDCD（库斯顿定理）

ABS

ABD

（4）

ACS

ACD

5.张角定理

sinsinsin()



ABACAD

6.倍角定理

在ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

如果则有22

(1)A2B,:abbc

(2)如果C2A,则有:22

caab

(3)如果,则有:22

B2Cbcac

倍角定理的逆运用

在ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,

(1)如果22,则有:。

abbcA2B

(2)如果22,则有:C2A。

caab

(3)如果22,则有:。

bcacB2C

2

7.中线长定理

AD为BC的中线,则中线定理:2222