福建省莆田第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题.docx

莆田一中2024~2025学年度上学期第一学段考试试卷

高二数学选择性必修一第一、第二章、第三章3.1、3.2

考试时间120分钟试卷满分150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.椭圆的焦距是（）

A. B. C.2 D.4

2.直线关于轴对称的直线的方程为（）

A. B. C. D.

3.已知直线经过两点，，则直线的一个方向向量是（）

A. B. C. D.

4.已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（）

A. B. C. D.或

5.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（）

A. B. C. D.

6.在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（）

A. B. C. D.

7.在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

8.已知椭圆的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

10.已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（）

A.的周长为4

B.当时，的面积为

C.若直线经过点，则的最小值是3

D.若线段中点为，则直线的方程为

11.如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（）

A.存在点满足平面平面

B.存在点满足平面

C.当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为

D.若，则点的轨迹长为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______.

13.已知，，，则点到直线的距离为______.

14.在平面直角坐标系中，，，定义为两点之间的“折线距离”.坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是______；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知为实数，设直线，.

（1）若，求的值及与的交点坐标；

（2）若，求与的距离.

16.（本小题15分）

已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上.

（1）求圆的方程；

（2）证明圆与圆相交于、两点，并求线段的长度.

17.（本小题15分）

已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若的面积是，求直线的方程.

18.（本小题17分）

在三棱锥中，，，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长.

19.（本小题17分）

已知圆与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，以，为坐标的动点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若两条直线和分别交曲线于点、和、，求四边形面积的最大值，并求此时的的值；

（3）研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标.

莆田一中2024~2025学年度上学期第一学段考试参考答案

一、BACADCDA

二、ACBCDABD

三、.；.

四、15.【详解】（1）因为直线，，，当时，直线，，不符合题意……………………1分

当时，直线斜率为，直线斜率为，……2分

由可得：………………………3分

即，解得；…………4分

则，………………………5分

联立方程组，……………………6分

则与的交点坐标为.………………7分

（2）因为直线，，，

由（1）知：时，不符合题意

当时，由可得：，即，………8分

解得或，…………………………9分

当时，两直线方程均为，不合题意，…………………10分

当时，方程为，即，

方程为，即，………………11分

故