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函数图像过定点得研究

题1:

求证:拋物线y＝（3－k)x2+(k－2）x+2k－１（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标。

归纳:

第一步:对含有变系数得项集中;

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量ｘ得方程（这时系数如何变化，都“失效”了)；

第四步：解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式)，即得到一个y得值y0(定点得纵坐标）,于就是，函数图象一定过定点(x０，y0）；

第五步：反思回顾,查瞧关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：

(２001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数，二次函数得图像总过得点就是(）

A、(1，3) B、（1,０）Ｃ、(－1，３)?D、(—1，0）

巩固练习:

1.无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）x＋m得图象总就是过定点（）

Ａ。?（1,３）?B． （１，0）?C. (﹣1，3） D. (﹣1，0）

2.对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）ｘ﹣１(a≠0),下列说法正确得有(）

①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为；③当a〉0时,函数在ｘ〈1时，ｙ随x得增大而减小；④当a〈0时，函数图象截x轴所得得线段长度必大于2.

A.

1个

B．

2个

C。

３个

D。

４个

３、（２01２?鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mｘ２﹣2mx+3(ｍ≠０）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：＿__＿_＿＿＿＿。

4。某数学小组研究二次函救y=mx2﹣３mx+２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。请您写出这两个定点得坐标：__＿_____＿.

5。（2009?宜宾县一模)二次函数ｙ=x2+bx+c满足b﹣c＝2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是_＿_______.

６．无论ｍ为何实数，二次函数ｙ=ｘ2﹣(２﹣m）x+ｍ得图象总就是过定点＿_＿_＿___＿.

７．已知一个二次函数具有性质(１）图象不经过三、四象限；（２)点（2，1)在函数得图象上；（3)当x＞0时，函数值y随自变量x得增大而增大。试写出一个满足以上性质得二次函数解析式：_＿__＿＿___。

8、证明无论m为何值，函数y＝mx-（４m—３）图像过定点,求出该定点坐标

9、（南京201１年２４题７分)已知函数y＝ｍx２-6x+1(m就是常数)．

⑴求证：不论m为何值，该函数得图象都经过y轴上得一个定点;

⑵若该函数得图象与x轴只有一个交点，求ｍ得值．

10.已知二次函数得顶点坐标为（﹣，﹣),与y轴得交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+(1﹣ｍ)上（其中m、n为正数）。

（1）求证:此二次函数得图象与x轴有2个交点；

(2）在x轴上就是否存在这样得定点:不论m、ｎ如何变化，二次函数得图象总通过此定点？若存在,求出所有这样得点；若不存在，请说明理由.

?函数图像过定点得研究

题1:

求证拋物线ｙ=(3—k)x2＋(k－2）x+2k—1（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标.

审题视角有些函数得图象具有过定点得性质,这就是由函数式中得一些系数得取值特点所决定得,例如，直线y=kx＋b(k≠0），当b确定时,无论k取不等于0得任何值,它总过定点（０，ｂ)；物线线y=ax２＋bx＋ｃ(ａ≠0），当c确定时，无论ａ、ｂ取何值,它总过定点（o,c）．

本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k得项组合于一组，赋值为零，可以求得自变量得值,而后代入函数解析式，再求得相对应得函数值，即得定点得坐标.

解:整理抛物线得解析式，得

y=（3－k)ｘ２+(k—２）x＋2ｋ—1

=3x２－2x－1-ｋx2+kｘ＋2ｋ

=3x2－２x－１-k(x2-x-2）(k≠3）,

上式中令x２－x-2＝０，得x１=－1，x2＝2、

将它们分别代入ｙ=3ｘ２－2x－1－k(x2－ｘ－2)，

解得y1＝４，y2＝7，

把点(-1,4)、(2，7）分别代入y＝３ｘ２-２x－1—k（x２－x－2）,

无论k取何值，等式总成立,

即点(－1，4）、(2，７）总在抛物线ｙ=(3－k）x2+(ｋ－2)ｘ＋２k－1（k≠3）上,

即拋物线