圆锥曲线第一节直线方程.doc

圆锥曲线

第1节直线的倾斜角、斜率与方程

基础知识梳理

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②范围：倾斜角的范围为[0°，180°)．

(2)直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

质疑探究1：任何直线都有倾斜角吗？都有斜率吗？

提示：任何直线都有倾斜角．垂直x轴的直线没有斜率，除此之外都存在斜率．

②过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)

(3)倾斜角与斜率k的变化规律

2．直线方程的五种形式

名称

方程

说明

适用条件

斜截式

y=kx+b

k——斜率

b——纵截距

倾斜角为90°的直线不能用此式

点斜式

y-y0=k(x-x0)

(x0，y0)——直线上

已知点，k——斜率

倾斜角为90°的直线不能用此式

两点式

(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点

与两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式

a——直线的横截距

b——直线的纵截距

过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式

Ax+By+C=0

A、B不能同时为零

所有直线

质疑探究2：截距是距离吗？

提示：不是．截距是实数，可正、可负，也可为0.截距有横、纵截距之分，分别为直线与x轴、y轴交点的横、纵坐标．

三基能力强化

1．若直线x＝2的倾斜角为α，则(C)

(A)0(B)eq\f(π,4)(C)eq\f(π,2)(D)不存在

解析：∵直线x＝2与x轴垂直，∴α＝eq\f(π,2).故选C.

2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(A)

(A)1(B)4(C)1或3(D)1或4

解析：由于k＝eq\f(4－m,m＋2)＝1，∴4－m＝m＋2，∴m＝1.故选A

3．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(C)

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

解析：∵A·C＜0，B·C＜0，∴A≠0，B≠0，C≠0，

∴直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－eq\f(A,B)x－eq\f(C,B)，

又(AC)·(BC)＝ABC2＞0，∴AB＞0，

∴－eq\f(A,B)＜0，－eq\f(C,B)＞0，∴直线不过第三象限．故选C.

4（2010安徽文数）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(A)

（A）x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0（D）x+2y-1=0

解析：设直线方程为，又经过，故，所求方程为.

典例剖析

题型一：直线的倾斜角和斜率

【例1】直线2xcosα－y－3＝0(α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)])的倾斜角的变化范围是()

(A)[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)](B)[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)](C)[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)](D)[eq\f(π,4)，eq\f(2π,3)]

思路点拨：先求斜率的范围，再求倾斜角的范围．

解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈[eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，eq\r(3)]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]，即倾斜角的变化范围是[eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]．故选B.

规律总结：(1)直线倾斜角α，斜率k＝tanα，知其一的范围可求另一个的范围．

(2)与x轴垂直的直线的倾斜角α＝90°，斜率k不存在；当α＝0°时，k＝0；

当0°＜α＜90°时k＞0；90°＜α＜180°时k0.

当堂检测

1．直线l经过A(2,1)、B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(D)

(A)[0，π)(B)[0，eq\f(π,4)]∪[eq\f(3π,4)，π)(C)[0，eq\f(π,4)](D)[0，eq\f(π,4)]∪(eq\f(π,