南京航空航天大学线性代数样卷.docx

南京航空航天大学

二00三~二00四学年第一学期《线性代数》考试A试题

填空（2*17）

四阶行列式的展开式中有一项前面带正号，则i.j分别为________(按i，j的顺序填），且展开式中共有_________项。又展开式中项系数为__________此时向量组的一个极大无关组为_________。

向量组，当t=_______时线性相关，此时向量组的一个极大无关组为_________。

若，则_______________,_____________.

四阶矩阵的行列式,则______________,_____________,的列向量组线性_____关（其中为的伴随矩阵）

_____________.

为n阶矩阵A的特征值，，，则线性_______.关，又若A为实对称矩阵，则_______。

三阶矩阵B不可逆，且有两个特征值为2，-1.实对称矩阵A与B相似，则二次型的规范型为__________，此二次型的秩为______。

三阶矩阵满足，且为不可逆矩阵，则的特征值为________，____________。

计算（9+9+8）

矩阵，满足矩阵方程，求矩阵。（其中为的伴随矩阵）。

已知三阶矩阵能与对角矩阵相似，为矩阵A的二重特征值，求a,b的值及A的对角标准型。

讨论a，b的不同取值对矩阵的秩。

三、（14）已知线性方程，当a为何值时，方程有无穷组多解，并求出此时的通解。

四、（16）已知二次型

（1）写出此二次型的系数矩阵A。

（2）此二次型在正交变换下化为标准形：求上述正交变换。

（3）该二次型是否正定，说明理由。

五、证明题（5+5）

（1）证明三阶矩阵不能与对角型矩阵相似。

（2）已知中向量组线性无关，线性无关，证明：存在非零向量即可由线性表出，又可由线性表出。