2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高二（上）期中数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年广东省广州市玉岩中学高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a=(2,?1,3)，b=(?4,2,x)，且a⊥b，则

A.103 B.?6 C.6 D.

2.直线y+2=33(x?43

A.π6，6 B.π6，?6 C.π3，6 D.

3.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为(????)

A.16 B.13 C.12

4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci=“点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6，D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D

A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω，D1D

5.平面上O，A，B三点不共线，设OA=a,OB=b

A.|a|2|b|2?(

6.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽12米，则当水面下降1米后，水面宽为(????)

A.19米 B.51

C.219米 D.

7.已知棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1内有一内切球O，点P

A.[?2,2] B.[0,2] C.[?2,4] D.[0,4]

8.设直线l：x+y?1=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kx(x≥0)向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若|MN|=136，则

A.32 B.23 C.12

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是(????)

A.P(A)=12 B.P(A∩B)=320 C.

10.1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知△ABC的顶点B(?1,0)，C(0,2)，重心G(16,

A.点A的坐标为(32,0)

B.△ABC为等边三角形

C.欧拉线方程为2x+4y?3=0

D.

11.在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠A

A.若点Q在平面A1B1C1D1内，则p=12

B.若CQ⊥DB，则m=n

C.当p=12时，三裬锥

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.有甲、乙两台机床生产某种零件，甲生产出正品且乙生产出次品的概率为14，乙生产出正品且甲生产出次品的概率为16，每台机床生产出正品的概率均大于12

13.设m∈R，已知直线l1：(m+2)x+2my+2?m=0，过点(3,4)作直线l2，且l1//l2，则直线

14.已知直三棱柱ABC?A1B1C1，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，E为侧棱AA1的中点，过E

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

某停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该场地停车，两人停车都不超过4小时．

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车付费多于14元的概率为512，求甲停车付费6元的概率；

(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲乙二人停车付费之和为28

16.(本小题15分)

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深人而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点Q与两定点A，B的距离之比为λ(λ0,λ≠1)，那么点Q的轨迹就是阿波罗尼斯圆．基于上述事实，完成以下两个问题：

(1)已知A(2,3)，B(0,?3)，若|DA||DB|=2，求点D的轨迹方程；

(2)已知点P在圆(x?5)2+y2=9上运动，点M(?4,0)

17.(本小题15分)

如图所示，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a，CB=b，CC1=c，CA=CB=CC1=1，a，b=a，c=2π3，b，c=π2，

18.(本小题17分)

如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=π2，F为PA的中点，PD=2，AB=AD=12CD=1，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．

(1)求证：AC//平面DEF；

(2)求二面角A?PB?C的正弦值