2024-2025学年北京市海淀区师达中学高二上学期期中考试数学试题.docxVIP

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北京市师达中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．正四棱锥的底面边长为2，高为2，该四棱锥的体积是（????）

A． B． C．8 D．12

2．已知向量，，若与垂直，则（????）

A． B． C． D．

3．下列各组向量中不平行的是（）

A．

B．

C．

D．

4．垂直于同一条直线的两条直线一定（????）

A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能

5．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（????）

A． B．

C． D．

6．空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

7．已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（????）

A． B． C． D．

8．在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（????）

A． B．

C． D．

9．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（????）

A．2 B．3 C． D．

10．如图，已知菱形的边长为2，且分别为棱中点．将和分别沿折叠，若满足平面，则线段的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知，在直线上，写出直线的一个方向向量.

12．在棱长为1的正方体中，.

13．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是.

14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：

①存在点，使；

②存在点，使；

③到直线和的距离相等的点有无数个；

④若，则四面体体积的最大值为．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

15．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面.

16．直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系.

(1)求的坐标及的长；

(2)求证：.

17．在空间直角坐标系中，已知A2,0,0，，，.

(1)求直线与直线所成角的余弦值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

18．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．

(1)求证：∥平面；

(2)若平面，求：

（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；

（ⅱ）点D到平面的距离．

19．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题

(1)求证：为的中点；

(2)求二面角的余弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

20．如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.

(1)求证：平面；

(2)若平面平面，

（i）求二面角的余弦值；

（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.

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参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

A

D

D

B

B

B

C

D

A

11．（答案不唯一，与此向量共线的非零向量均可）

12．1

13．

14．①③④

15．（1）因为，、分别是、的中点，则∥，

又因为∥，则∥，

且平面，平面，所以∥平面.

（2）因为底面，底面，则，

又因为为矩形，则，

且，平面，所以平面.

16．（1）由题意可知：，

则，可得，

所以的长为.

（2）由（1）可得：，

因为，所以.

17．（1）依题意，，则，

所以直线与直线所成角的余弦值为.

（2）由（1）知，，

设平面的法向量，则，

令，则，

得为平面的一个法向量，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

18．（1）如图,在射线上取点,使,连接.

由题设,得,所以四边形为平行四边形.

所以且.

又四边形为平行四边形,

所以且.

所以且..

所以四边形为平行四边形,

所以.

因为平面平面

所以平面.

（2）（i）因为平面,平面，

所以.又,

所以,,两两相互垂直.

如图建立空间直角坐标系,

则.所以.

设平面的法向量为,则

即

令,则.于是.

设直线与平面所成角为,则

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（ii）因为,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

所以点到平面的距离为

19．（1）选