专题训练(六)　线段或角的计数问题.docx

专题训练(六)线段或角的计数问题

?类型一

1．(1)观察思考如图ZT－6－1，线段AB上有两个点C，D，请分别写出以A，B，C，D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；

(2)模型构建若线段上有m个点(包括线段的两个端点)，则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；

(3)拓展应用8名同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两名同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？

请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．

图ZT－6－1

?类型二同一顶点的角的个数

2．(1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图ZT－6－2①中有________个不同的角；

(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图②中有________个不同的角；

(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图③中有________个不同的角；

(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有________个不同的角；

(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有____________个不同的角．

图ZT－6－2

?类型三n条直线的交点的个数

3．我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线．

(1)若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是________；

(2)若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是________；

(3)若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是____________；

(4)若平面上有五个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数为______________．

?类型四直线分割平面问题

4．阅读下面文字，完成题目中的问题．

阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是1部分；②当平面上画出一条直线时，就把平面分成2部分；③当平面上有两条直线时，最多把平面分成4部分；④当平面上有三条直线时，最多可以把平面分成7部分……完成下面问题：

(1)根据上述事实填写下列表格：

平面上直线的条数

0

1

2

3

…

平面最多被分成几部分

…

(2)请你猜测当有n条直线时，最多可把平面分成几部分．

(3)根据上述猜测，若将一块蛋糕分给10名小朋友，则至少要切________刀．

教师详解详析

1．解：(1)因为以点A为左端点的线段有线段AB，AC，AD，

以点C为左端点的线段有线段CD，CB，

以点D为左端点的线段有线段DB，

所以共有3＋2＋1＝6(条)线段．

(2)eq\f(m（m－1）,2).

说明如下：设线段上有m个点，

该线段上共有线段x条，

则x＝(m－1)＋(m－2)＋(m－3)＋…＋3＋2＋1，

所以x＝eq\f(m（m－1）,2).

(3)把8名同学看作直线上的8个点，每两名同学之间的一场比赛看作一条线段，

直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数．

因此一共要进行28场比赛．

2．[答案](1)3(2)6(3)10(4)66(5)eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)

[解析](1)在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为3.

(2)在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为6.

(3)在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为10.

(4)在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1＋2＋3＋…＋10＋11＝66(个)不同的角，故答案为66.

(5)在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)＝eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)(个)不同的角．

故答案为eq\f(（n＋1）（n＋2）,2).

3．[答案](1)1(2)1或3(3)1或4或6(4)1或5或6或8或10

[解析](1)根据基本事实：两点确定一条直线可知：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是1.

(2)当三点在同一条直线上时，可以画1条直线，

当三点不在同一条直线上时，可以画3条直线．

故平面上有三个点，若过每两点画直线，则可以画出直线的条数为1或3.

(3)如图所示，分别根据四点在同一条直线上、三点在同一条直线上、任意三点均不在同一条直线上描出各点，再根据两点确定一条直线画出各直线，如图，

平面上有四点，过其中每两点画出一条直线，可以画直线的条数为1或4或6.

(4)①当五点在同一条直线上时，可以画出1条直线；

②当四点在一条直线上，另一点在直线外时，可以画出5条直线；

③当只有三点在一条直线上时，可以画出8条直线