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全国数学竞赛决赛真题三十八

1．（八中）已知1?16+1

2．（八中）有一类自然数，从左边第三位开始，每个数位上的数字都是它左边两个数位上的数字之和，如21347。则这类自然数中，最大的奇数是。

3．（八中）如图，△ABC中，点E在AB上，点F在AC上，BF与CE相交于点P，如果S四边形AEPF=S△BEP=

4．（八中）张老师带领六(1)班的学生去种树，学生恰好可平均分成5组。已知师生每人种的树-样多，共种树527棵，则六(1)班有学生人。

5．（八中）两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒．已知在电梯静止时，男孩每秒走3米，女孩每秒走2米．则该自动扶梯长米．

6．（八中）有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，如图2，则至少需要绳子分米(结头处绳长不计，π取3.14)。

7．（八中）一个深30厘米的圆柱形容器，外圆直径22厘米，壁厚1厘米，已装有深27.5厘米的水。现放入一个底面直径10厘米，高30厘米的圆锥形铁块，则将有立方厘米的水溢出。

8．（八中）新年联欢会共有8个节目，其中有3个非歌唱类节目。排列节目单时规定，非歌唱类节目不相邻，而且第一个和最后一个节目都是歌唱类节目。则节目单可有种不同的排法。

9．（八中）为了创建绿色学校，科学俱乐部的同学设计了一个回收食堂的洗菜水来浇花草的水池，要求单独打开进水管3小时可以把水池注满，单独打开出水管4小时可以排完满池水。水池建成后，发现水池漏水。这时，若同时打开进水管与出水管14小时才能把水池注满。则当池水注满，并且关闭进水管与出水管时，经过小时池水就会漏完。

10．（八中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。已知甲、乙两人的速度之比是6：5，他们相遇时距两地的中点5千米。则当甲到达B地时，乙离A地还有千米。

11．（八中）修筑一条高速公路。若甲、乙、丙合作，90天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作，180天可完工。若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作，还需多少天可完工？

12．（八中）定义：f(n)=k(其中，n是自然数，就是0.987651234658……的小数点后的第n位数字)，如f(1)=9，f(2)=8，f(3)=7，

求：5f(?

答案解析部分

1．【答案】1

【知识点】繁分数

【解析】【解答】解：1?16+16+16=1?16+637=1?122837=1?37228=191228

所以，1A+1B+1C+1C

2．【答案】1011235

【知识点】数字问题；数字和问题

【解析】【解答】解：据题意可知，这个自然数的最高位数可位1，次高位为0，然后据规律依次相加得出后边数位上的数字，同时因这个数为奇数，所以个位数应为奇数，则这个数为1011235。

故答案为：1011235

【分析】数位越高，数字越大，要使这个自然数最大，应使其位数尽量多，所以要使开头的两个数尽量小，最高位数可位1，次高位为0，然后据规律依次相加得出后边数位上的数字，同时因这个数为奇数，所以个位数应为奇数，则这个数为1011235。

3．【答案】12

【知识点】组合图形面积的巧算；三角形的面积

【解析】【解答】解：如图，连接EF，AP，

根据题干不难得出△CEF与△BEF面积相等且又同底，所以它们的底EF上的高也相等，由此可以得出：EF∥BC，则：CF：AF=BE：AE；

而CF：AF=S△CFP：S△AFP；BE：AE=S△BEP：S△AEP；

可得：S△CFP：S△AFP=S△BEP：S△AEP；

又因为S△CFP=S△BEP=4；所以可得AP平分了四边形AEPF，即：S△AFP=S△AEP=2；

所以可得：AF：FC=1：2，所以S△BAF：S△BFC=1：2，

所以△BPC的面积为：4×2×2-4=12，

故答案为：12．

【分析】连接EF，AP，不难得出EF∥BC，且AP平分了四边形AEPF，然后利用题干中的已知条件和高一定时，面积与底成正比的关系得出：AF：FC=1：2，由此即可求得△BPC的面积．

4．【答案】30

【知识点】列方程解含有一个未知数的应用题

【解析】【解答】解：537=31×17，

学生个数是5的倍数，尾数为5或0，

学生的个数加老师的个数，尾数为6或1，

学生和老师的人数有31人，

故答案为：30．

【分析】先分解质因数537=31×17，因为学生个数是5的倍数，尾数为5或0，所以学生的个数加老师的个数，尾数为6或1，31和17只有31符合条件．所以老师加学生的个数为31，减去老师1名，得学