广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（含答案解析）.docx

柳州市2025届高三第一次模拟考试

数学

（考试时间120分钟满分150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数，则的虚部为（）．

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.

【详解】因为，所以，

所以的虚部为.

故选：A.

2.对于非零向量，，“”是“”的（）．

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解.

【详解】对于非零向量，，因为，所以，则，

即“”能推出，

但当时，，显然不一定成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】对于双曲线，求出、，根据可求出的值.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则，

且，，则，解得.

故选：B

4.若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求出的值，再利用二倍角的余弦公式、弦化切可求得的值.

【详解】圆的圆心为原点，半径为，

若切线的斜率不存在，则直线的方程为，且该直线与圆相离，不合乎题意，

所以，切线的斜率存在，设切线的方程为，即，则，解得，

不妨设直线的倾斜角为，因为，则，则，

所以，，故

.

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（）．

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程.

【详解】依题意，设点，由，

可得，即得点的轨迹方程为.

故选：A.

6.设函数，已知，，且的最小值为，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】【分析】根据题意求出函数的最小正周期，再利用余弦型函数的周期公式可求得的值.

【详解】设函数的最小正周期为，

因为函数，已知，，且的最小值为，

则，可得，故.

故选：D.

7.已知正四棱台的体积为，，，则与底面所成角的正切值为（）

A. B. C. D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据体积求出正四棱台的高，分别取的中点，过作交于，则为与底面所成的角，求解即可.

【详解】∵，，∴上，下底面的面积分别为，

设正四棱台的高为，

则其体积为，解得，

连接，分别取的中点，

∵面，面，∴，

过作交于，则，面，

∴为与底面所成的角，

∵，，∴，

即与底面所成角的正切值为.

故选：C.

8.设函数，若，则最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】分类讨论求出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为，

若，则对任意的，，

则当时，，不合乎题意；

若时，当时，，，此时，，不合乎题意；

若，则当时，，，此时，，不合乎题意.

所以，，此时，，则f1=0，当时，，，此时，；

当时，，，此时，.

所以，对任意的，，合乎题意，

由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，

故的最小值为.

故选：D.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知随机变量服从正态分布，即，则（）．

A. B.

C. D.

【答案】BD

【解析】

【分析】由正态分布概念、组成的理解和正态分布曲线的对称性逐一判断即得.

【详解】由可得，，故A错误；B正确；

对于C，因,则，故C错误；

对于D，因，则,故，