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《最短路径问题（第二课时）》教案
教学目标
教学目标：
（1）利用平移、轴对称解决最短路径的问题，进一步感悟化归思想．
（2）培养培养用符号语言和图形语言表达数学问题的能力．
教学重点：利用平移、轴对称解决最短路径的问题
教学难点：体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟化归思想
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3分钟
复习引入
上节课我们研究了两类最短路径问题：
1.A，B在直线l异侧时：
如图，在直线l上求作一点C，使得CA+CB最短．
思考：
（1）作图方法：
连接AB，交直线l于点C，点C即为所求．
（2）依据：“两点之间，线段最短”，
2.当A、B在直线l同侧时（牧马人饮马问题）
（2）作法：
通过轴对称转移线段，转化为研究过的A、B两点在直线异侧的问题．
利用“两点之间，线段最短”，找到满足条件的点C．
同时，我们通过几何推理，证明了这个作法的正确性．
12分钟
探索新知
本节课我们继续研究“最短路径”问题．
例：造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
BA
B
A
思考：
（1）实际问题，首先做什么？
将实际问题抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达．
图形语言：
A、B两点看作两个定点，河的两岸看成两条平行线a和b．
N为直线b上的一个动点．先画一个一般的点N．桥垂直于河的两岸，即MN垂直于直线b，交直线a于M．
文字/符号语言：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小．
（几何画板演示）
（2）问题是否可以简化？
由于河的宽度是固定的，当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小．
（3）能否通过图形的变化（轴对称、平移等），将问题转化为我们研究过的问题呢？
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到A’，则AA=MN，AM+NB=A’N
所以问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小．
（4）这是我们上节课讲的哪种类型？
两点在直线异侧，连接A’，B两点，与直线b的交点即为N．依据：两点之间，线段最短．
（5）结论
在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的．
（6）用文字和符号语言整理一下作法
总结：
①实际问题可以抽象为数学问题，用文、图、示的语言表达．
②利用平移，实现线段的转移．
平移：沿直线方向移动．轴对称：绕某一点旋转．
③把已知问题转化为容易解决的问题，体会化归思想．
思考（6）如何证明这条路径最短？
在直线b上任取一点N′，
过N′作N′M′⊥a
连接AM′，A′N′，N′B
由平移性质可知，
AM=A′N，AM′=A′N′.
AM+NB=A′N+NB=A′B
AM′+N′B=A′N′+N′B.
由两点之间，线段最短可知：
A′BA′N′+N′B
即AM+NBAM′+N′B
即AM+MN+NBAM′+M′N′+N′B.
总结④学会用符号语言进行推理和表达
6分钟
能力提升
练习：
已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．
思考
（1）哪些点是定点，哪些是动点？
A，B为定点，P，Q为直线l上的动点，且PQ=a，距离不变．先从一般的点P和相应的点Q出发，画图观察．
（2）问题是否可以简化？
由于AB、PQ的长度是固定的．当AP+QB最小时，四边形APQB的周长最小．
（3）如何通过平移、轴对称等方式转移线段，从而转化为我们研究过的问题？
将AP沿直线l的方向平移，点P移动到点Q，点A移动到A’，则AA=PQ，AP+QB=A’
所以问题转化为：当点Q在直线l的什么位置时，A’Q+QB最小．
（4）这是我们研究过的哪种类型？
两点在直线异侧，连接A’，B两点，与直线l的交点即为Q．依据：两点之间，线段最短．
（5）如何证明这条路径最短？
总结：将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知（已解决）的问题．
2分钟
课堂小结
课堂小结：
比较本节课研究的两个问题
（1）最短路径的依据：两点直线，线段最短
（2）方法：利用轴对称、平移等变化，将已知问题转化为容易解决的问题。
（3）思想：化归思想。
课后作业
如图，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；
知能演练提升
一、能力提升
1.如图,OA,OB分别是线段MC,MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回点M处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为()
A.12
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