北师大版2024新版七年级数学上册教案：5.3 课时1 几何图形中的等量关系.docVIP

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5.3课时1几何图形中的等量关系

〖教学目标〗

1．知识与技能

(1)通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。

(2)进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。

2．数学思考

认识方程模型的重要性，领悟用方程解决实际问题的关键是找到等量关系。

3．解决问题

体会数学与现实生活的密切联系，增强应用意识，提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力。

4．情感与态度

培养敢于面对学习中的困难，增强自信，大胆猜想并发表自己的观点，激发好奇心和主动学习的欲望。

〖教材分析〗

本节课主要通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。教材首先通过一个锻压问题，使学生领悟形体变化问题中的变与不变，体验解决形变而体积不变这一问题的思路和方法。在此基础上，又通过例题进一步提高运用数学知识与方法解决实际问题的能力。

本节课的重点是：通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化。

本节课的难点是：审清题意，关键是让学生抓住图形问题中的不变量。

〖教学设计〗

(一)创设问题情境，引入新课

同学们，今天这堂课我们共同来学习

我们先做两个小实验，请同学们仔细观察。

1．把准备好的橡皮泥由又“矮”又“胖”的圆柱体拉伸成“瘦长”形的圆柱体。

2．准备一个量桶(细长型)和一个烧杯(矮胖型)，把烧杯中的水倒入量桶里(注：水中滴入红墨水加色)。

师：通过对这两个实验的观察，你是否已经领悟出课题“水箱长高了”的真实含义了?

生1：通过这两个实验我觉得“水箱长高了”的真实含义是：物体的形状发生了变化，由矮胖的圆柱体变成了“细长”的圆柱体。如果反过来，也可以叫做“水箱变矮了”。

生2：“水箱长高了”实际上就是物体的变形问题，由一种形状变成了另一种形状，比如把橡皮泥由正方体也可以捏成圆柱体等。

师：你们回答得棒极了!那么在这两个实验中，圆柱由“低”变“高”的过程中，圆柱的哪些量发生了变化?有没有不变的量?请小组同学讨论后回答。

生：我组同学一致认为，在圆柱的形状由“低”变“高”的过程中，圆柱的半径、高等都发生了变化，而它们的体积和质量始终不变。

师：回答得很好，如果要你说出这个问题中存在的等量关系，应该是什么呢?

板书：变化前的体积＝变化后的体积。

变化前的质量＝变化后的质量。

(二)新课讲解

师：非常好。我这儿有一个问题，需请大家帮助解决。

某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为了多少米?

生：这个问题就和刚才做的实验一样，其形状变了，但体积不变，即旧水箱的容积＝新水箱的容积。

可列方程解决。

师：这位同学分析得很好，那么水箱的体积等于……?

生：底面积×高，即π×半径2×高

师：如何表示水箱前后的体积呢?请想好后请填写下面的表格。

如果设新水箱的高为x厘米，则

旧水箱

新水箱

底面半径/m

高/m

容积/

（学生独立填写，教师巡视，发现问题及时纠正；再把一些常见的问题展示给学生纠正，师生共析后，由学生独立完成本题解答过程。)

解：设新水箱的高为x厘米，根据题意，得

π×4×4=π×（1.6）2x。

解得x=6.25。

答：高变成了6.25厘米。

师：我们再看一个例子

用一根长为10米的铁丝围成一个长方形。

(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米?

(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有何变化?

(3)使得该长方形的长与宽相等，围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米?它所围成的面积与(2)中相比有何变化?

学生分组活动：

(1)各小组拿出准备好的细铁丝动手折一个长方形，并在仔细阅题的基础上，观察分析哪些量发生了变化，哪些量没有变化，其中的等量关系是什么，如何列方程来解决。

(2)学生在教师的鼓励下积极思考，争论并得出：虽然长方形的长和宽在围合过程中在变化，但其周长并没有变，由此建立等量关系：2(长+宽)＝周长。

(3)由小组分工合作，完成本题的三个小问题，最后相互讨论，或通过小组列表格演算，比较长方形的面积变化情况，大胆猜想得出结论。

(4)请小组代表汇报三个问题的解答过程。

解：(1)设此时长方形的宽为x米，则它的长为(x+1.4)米。根据题意，得

［x+(x+1.4)］×2=10,

2x=5-1.4，

x=1.8，

x+1.4=1.8+1.4=3