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专题37等时圆模型及应用拓展
1、等时圆规律
（1）小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。如图1所
示
（2）小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。如图2所示
（3）沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，满足
：
2d4RR
t2（R为圆的半径）
ggg
图1图2
2、规律的证明
设有一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，如下图所示。根据物体沿光滑弦做初
2s
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝，位移为s＝，所以运动时间为t＝
gsindsin0
a
2dsinα2d
＝＝。
gsinαg
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
如果质点不是从圆的最高点下滑或不是到达圆的最低点时，我们应怎样处理此类问题呢？
图3图4
[例题]如图3所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆
周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点，每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画
出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用t、t、t依次表示滑环到达B、C、D所用的
123
时间，则三个时间的关系？
一、单选题
1.2019·M
（泉州第十六中学高三月考）如右图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于
A.BM60°C.
点，与竖直墙相切于点竖直墙上另一点与的连线和水平面的夹角为，是圆环轨道的圆心已知
、、、
abABAMBMMcC
在同一时刻两球分别由两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到点；球由点自
M.
由下落到点则（）
A.a球最先到达M点B.b球最后到达M点
C.cMD.bcM
球最后到达点球和球都可能最先到达点
2.2017·xOyAMBM
（江西高安中学高三月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，该平面
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