第04讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮.pdf

第04讲平面向量系数和（等和线、等值线）问题

（高阶拓展、竞赛适用）

（类核心考点精讲精练）

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平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。

平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。

近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，

往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共

线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数

形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用

知识讲解

P

如图，为AOB所在平面上一点，过O作直线l//AB，由平面向量基本定理知：



存在x,yR，使得OPxOAyOB

1

下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和xy的值



若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得

①PlOPll//ABOPAB



而ABOBOA，所以OPOBOA，于是xy-0

②若Pl时，

lCD//ABOA，OB

（）如图，当P在右侧时，过P作，交射线于C,D两点，则

i1

OCDOABOCDOABk

，不妨设与的相似比为

由P,C，D三点共线可知：存在R使得：



OPOC(1)ODkOAk(1)OB

所以xykk(1-)k

lOPO

（）当P在左侧时，射线的反向延长线与AB有交点，如图作P关于的对称点P，由（）

ii1i

的分析知：存在存在R使得：



OPOC(1)ODkOA(1)OB



所以OP-kOA-(1)OB

于是xy-k-k(1-)-k



综合上面的讨论可知：图中OP用OA,OB线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关。

我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来