2024-2025学年上海市进才中学高二上学期期中考试数学试卷含详解.docx

进才中学2024学年第一学期高二年级数学期中

2024.11

一．填空题（本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分）

1．用集合语言表述“直线和直线相交于点”：．

2．双曲线的实轴长为．

3．点在椭圆上,则点的横坐标的取值范围是．

4．直线与直线的夹角．

5．已知椭圆的一个焦点是,且经过点．则这个椭圆的标准方程为．

6．已知方程表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是.

7．已知圆,圆,若两圆相交,则实数的取值范围为.

8．直线与双曲线只有一个交点,则实数的值为．

9．如图,若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图．已知,,平行四边形的面积为8,则原平面图形中的长度为．

10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程,,为其左,右焦点,若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后,满足,,则该椭圆的离心率为．

??

11．设为双曲线上两点,如下四个点：,,,中,可作为线段中点的是．（请将所有满足条件的点填入）

12．已知抛物线与直线相交于不同的,两点．记点,的横坐标分别为,且,若存在以,,为边长的三角形,则的取值范围是．

二,选择题（本大题共4题,满分18分,13,14题每题4分,15,16题每题5分）

13．已知直线,若,且与相交,则与的位置关系是（????）

A．相交 B．相交或异面

C．平行或异面 D．相交,平行或异面

14．关于方程所表示的曲线,下列说法正确的是（????）

A．关于轴对称 B．关于轴对称

C．关于轴对称 D．关于原点中心对称

15．已知双曲线的中心在原点,以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知,是曲线上两点,若对于平面内任意不在曲线上的点,使得曲线上存在点和点使得,则称曲线是“曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“曲线”,②任意双曲线都是“曲线”．则（????）

A．①成立②成立 B．①成立,②不成立

C．①不成立,②成立 D．①不成立,②不成立

三,解答题（本大题共有5题,满分78分）

17．已知圆关于直线对称,且过点

(1)求圆的圆心坐标和半径.

(2)若直线过点,且与圆交于,两点,满足,求直线的方程．

18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,点E是棱A1B1的中点．

(1)求证：A1B与EC1是异面直线.

(2)求异面直线A1B与EC1所成角的大小．

19．正方体中,为的中点,为的中点．

(1)记点,,确定的平面为,作出平面和平面的交线,并说明理由.

(2)求证：四边形是等腰梯形．

20．已知椭圆：（,且）,点在椭圆上,点,原点为．

(1)若点在曲线上,且长轴长为,求椭圆的短轴长.

(2)若点在第二象限,且是以为直角的等腰直角三角形,求的最小值.

(3)若椭圆的焦点在轴上,是否存在,使得点在线段的中垂线上？若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由．

21．已知焦点为的抛物线上存在不同的两点,（异于原点）．

(1)若且,求直线的方程.

(2)若,求线段的最小值.

(3)若点,,三点共线,求的取值范围．

1．且

【分析】根据点与直线的位置关系的符号表示可得结论.

【详解】由点与直线的位置关系可得“直线和直线相交于点”可表述为且.

故答案为：且

2．.

【分析】根据双曲线标准方程即可得出实轴长为.

【详解】由双曲线标准方程可知,可得.

即可得双曲线的实轴长为.

故答案为：

3．

【分析】根据椭圆的性质求解即可.

【详解】因为椭圆.

所以椭圆上的点的横坐标取值范围为.

故答案为：.

4．

【分析】分别求出直线的斜率,利用夹角公式直接求解．

【详解】解：直线的斜率.

直线的斜率

设夹角为

则

故答案为

【点睛】本题考查两直线的夹角公式,解答的关键是熟练记忆公式,属于基础题．

5．

【分析】根据焦点坐标得,根据椭圆的定义求出,再根据求出,从而可得椭圆的标准方程.

【详解】由已知,设椭圆的标准方程为.

因为椭圆的一个焦点是,且经过点.

所以椭圆的另一个焦点为,.

.

则,所以.

所以这个椭圆的标准方程为.

故答案为：.

6．

【分析】由双曲线方程,结合焦点在y轴上,有,即可求m的范围.

【详解】根据双曲线标准方程且焦点在y轴上.

∴,解得,即m的范围为.

故答案为：.

7．

【分析】先求出两圆得圆心及半径