2024高中数学 综合测试（3）B 新人教A版必修4.doc

2024高中数学综合测试（3）B新人教A版必修4

1已知向量a＝(sinθ，2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，eq\f(π,2))(1)求sinθ和cosθ的值；

(2)若5cos(θφ)＝3eq\r(5)cosφ，0φeq\f(π,2)，求cosφ的值

已知函数f(x)＝sin(πωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，eq\f(π,16)]上的最小值

B96答案

1解(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ又∵sin2θ＋cos2θ＝1，

∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝eq\f(1,5)，∴sin2θ＝eq\f(4,5)又θ∈(0，eq\f(π,2))，∴sinθ＝eq\f(2\r(5),5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5)

(2)∵5cos(θφ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝eq\r(5)cosφ＋2eq\r(5)sinφ＝3eq\r(5)cosφ，∴cosφ＝sinφ

∴cos2φ＝sin2φ＝1cos2φ，即cos2φ＝eq\f(1,2)又∵0φeq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(\r(2),2)

2解(1)因为f(x)＝sin(πωx)cosωx＋cos2ωx，所以f(x)＝sinωxcosωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)

＝eq\f(1,2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)

由于ω0，依题意得eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1

(2)由(1)知f(x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，所以g(x)＝f(2x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)

当0≤x≤eq\f(π,16)时，eq\f(π,4)≤4x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))≤1因此1≤g(x)≤eq\f(1＋\r(2),2)

故g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,16)))上的最小值为1