高中数学 24 等比数列趣味数列素材 新人教版必修5.doc

趣味数列

（羊群数列）有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关口人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，问原来牧羊人赶多少只羊？

本题的关键是每到关口的守关人留羊的方法相同，即留下当时羊的一半再退还一只，因而牧羊人剩下当时羊的一半多一只设过第n关后牧羊人剩下an+1只羊，则第n关前的羊数为an只，由分析可建立数列{an}的递推关系式：

an+1＝＋1，即：2an+1＝an＋2（n＝1，2，3，…）

由递推关系式得：an＝2(an+)

将a36＝2代入上式可得：a35＝a34＝…＝a1＝2a1即为牧羊人原来羊的只数2只

（分桃数列）1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分。夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃了一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃了一个桃子后，也将桃子分成五等份，藏起自己的一份就去睡觉了；以后的3只猴子都照此做了

问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？假使我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子数依次为a2，a3，…，a6，得到一个数列{an}可知该数列的递推公式：an+1＝an(an1)1

即：an+1＝(an1)

整理变形得，an+1＋4＝(an＋4)

故{an＋4}是以作为公比的等比数列

∴a6＋4＝(a1＋4)()5

欲使a6＋4∈N*，应有a1＋4＝55?m(m∈N*)，故最初至少有桃子

a1＝554＝3121，从而最后至少剩下桃子a6＝454＝1020

（天平数列）法国数学家梅齐里亚克1624年出版的《组合数学游戏》一书中，有一则问题：

一个商人有一个40磅重的砝，由于跌落地面而碎成4块，后来称得每块碎片都恰是整数磅，并可用这四块来称从1到40磅之间的任意整数磅的重物。问各块碎片的重量

该问题的一般化数学模型就称为“天平数列问题”；求一个n项递增的正整数数列{an}，使它的项a1，a2，…，an，,通过“＋”“”构成的数值，可以表示个数最多的连续自然数1，2，3，…，Sn中的任何一个上述问题就是当n＝4时天平数列问题的一个特例。在此，我们只给出它的结论：a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27有兴趣的同学可自己探索一下它的解法