20242024学年高中数学 椭圆及其标准方程(一）导学案 新人教A版选修21.doc

年高中数学椭圆及其标准方程(一）导学案新人教A版选修21

【学习要求】

1了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程椭圆标准方程的推导与化简过程

2掌握椭圆的定义标准方程及几何图形

【学法指导】

1通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察辨析归纳问题的能力

2通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度

【知识要点】

1椭圆：平面内与两个定点F1，F2的?的点的轨迹叫做椭圆(ellipse)这两个定点叫做椭圆的?，两焦点间的距离叫做椭圆的?

2椭圆的标准方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

焦点

?

?

abc的关系

?

?

【问题探究】

探究点一椭圆的定义

问题1给你两个图钉一根无弹性的细绳一张纸板，能画出椭圆吗？

问题2动点P到两定点AB的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a0且a为常数)的轨迹一定是椭圆

探究点二椭圆的标准方程

问题1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程

问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？

问题3椭圆方程中的ab以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？

例1（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3,2)))，求它的标准方程；

（2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程

跟踪训练1（1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2,1)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(eq\r(6)，1)，P2(eq\r(3)，eq\r(2))两点，求椭圆的标准方程

例2已知方程eq\f(x2,k4)eq\f(y2,k10)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为__________

跟踪训练2若方程eq\f(x2,m)eq\f(y2,m22)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是()

Am0 B0m1C2m1 Dm1且m≠eq\r(2)

探究点三椭圆的定义及标准方程的应用

例3已知椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)求△PF1F2的面积

跟踪训练3已知椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1上一点P与椭圆两焦点F1F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________

【当堂检测】

1椭圆eq\f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()

A5B6C7D8

2若方程eq\f(x2,25m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()

A9m25 B8m25C16m25 Dm8

3椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,32)＝1的焦距为________

4已知椭圆经过点(eq\r(3)，0)且与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________

【课堂小结】

1平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a

当2a|F1F

当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1

当2a|F1F

2对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解

3用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的

【拓展提高】

1已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左右焦点，若，则的面积为（）

ABCD

2已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且

（1）求此椭圆方程

（2）若点在第二象限，的面积