2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，含答案）.doc

2024年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的

1已知全集，则集合（）

ABCD

2设复数z满足，则（）

ABCD

3已知，，则（）

ABCD

4已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）

A若则B若，，则

C若，，则D若，，则

5设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）

ABCD

66把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）

A144B120C72D24

7某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

ABCD

8设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）

ABCD

9将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）

A在区间上单调递减

B在区间上单调递增

C在区间上单调递减

D在区间上单调递增

10已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）

ABCD

当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）

ABCD

12已知定义在上的函数满足：

①；

②对所有，且，有

若对所有，，则k的最小值为（）

ABCD

第Ⅱ卷（共90分）

二填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13执行右侧的程序框图，若输入，则输出

14正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是

15已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则

16对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为

三解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）

17（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：

（1）a和c的值；

（2）的值

18（本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差

19（本小题满分12分）

如图，和所在平面互相垂直，且，，EF分别为ACDC的中点

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值

20（本小题满分12分）

圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为

（1）求的方程；

（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程

21（本小题满分12分）

已知函数，

证明：（1）存在唯一，使；

（2）存在唯一，使，且对（1）中的

请考生在第222324三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑

22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图，EP交圆于EC两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F

（1）求证：AB为圆的直径；

（2）若AC=BD，求证：AB=ED

23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程

将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程

24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

设函数，，记的解集为M，的解集为N

（1）求M；

（2）当时，证明：