2024年高中数学 312柯西不等式（3）同步练习 新人教版选修45.doc

选修45练习§312柯西不等式(3)

1已知，求证：

2已知是不全相等的正数，求证：

3已知

4设求证：

5已知实数满足,求的取值范围

6已知且求证：

7已知正数满足证明

8解方程组

9若n是不小于2的正整数，试证：。

参考答案:

一般形式的柯西不等式：

设为大于1的自然数，(1,2,…,)，则：，

其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,…,)

等号成立当且仅当柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的

不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩居高临下，从而方便

地解决一些中学数学中的有关问题。

例1解：由柯西不等式得，有

即由条件可得，

解得，当且仅当时等号成立，

代入时，

时

例2解：由柯西不等式，得

①

又

即不等式①中只有等号成立

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

它与联立，可得

例3证明：由柯西不等式得，

记为的面积，则

故不等式成立。

例4证明：由柯西不等式，得

当且仅当时，上式取等号，

于是。

例5分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：

证明：为了运用柯西不等式，我们将写成

于是

即

故

我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

练习

1证：

∴

∴

2

3

4

5

6

7证明：利用柯西不等式

又因为在此不等式两边同乘以2，再加上

得：

故

8解：原方程组可化为

运用柯西不等式得,

两式相乘，得

当且仅当x=y=z=w=3时取等号。

故原方程组的解为x=y=z=w=3

9证明：证明：

所以求证式等价于

由柯西不等式有

于是：

又由柯西不等式有