2024年高中数学 第一章 第910课时 解三角形复习课学案 苏教版必修5.doc

第9课时解三角形复习课

(1)(2)

学习要求

掌握正弦定理余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；

能利用计算器解决三角形的计算问题。

【课堂互动】

自学评价

1正弦定理：

(1)形式一：=2R；

形式二：；；；（角到边的转换）

形式三：，，；（边到角的转换）

形式四：；（求三角形的面积）

(2)解决以下两类问题：

1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）

2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。

(3)若给出那么解的个数为：

若，则无解；

若，则一解；

若，则两解；

2余弦定理：

(1)形式一：，，

听课随笔形式二：，，，（角到边的转换）

听课随笔

(2)解决以下两类问题：

1）已知三边，求三个角；（唯一解）

2）已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）

【精典范例】

一判定三角形的形状

【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：

若a2tanB=b2tanA；

b2sin2C+c2sin2

(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1

【解】(1)由已知及正弦定理得

(2RsinA)2=(2RsinB)2

2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B

2cos(A+B)sin(A–B)=0

∴A+B=90o或A–B=0

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形

(2)由正弦定理得

sin2Bsin2C

∵sinBsinC≠0,

∴sinBsinC=cosBcosC,

即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,

故△ABC是直角三角形

(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1 [2sincos+sin(A+B)]–[2coscos+2cos21]=0

[2sincos+sin(A+B)]–2coscos2sin2=0(sincos)(cossin)=0sin()sinsin=0

△ABC是Rt△

二三角形中的求角或求边长问题

【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边ABBCCA上取点DEF，使△DEF是等边三角形设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。

分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。

【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，

听课随笔所以，因为BE+EC=BC，所以，

听课随笔

所以

当，。

注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。

【例3】在△ABC中，已知sinB=,

cosA=,试求cosC的值。

【解】由cosA=，得sinA=,

∵sinBsinA,∴B中能是锐角

∴cosB=,

又cosC=cos(A+B)=sinAsinB–cosAcosB=

【例4】在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值

分析：本题主要考查正弦定理余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形

的技能和运算能力

【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=

在△BDE中利用余弦定理可得：

BD2=BE2+ED22BE·EDcosBED，

【例5】在ΔABC中，角ABC所对的边分别为bc，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

【解】(Ⅰ)=

=

==

(Ⅱ)∵

听课随笔∴,

听课随笔

又∵

∴

当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是

三解平面几何问题

【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。

分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A∠C，这可由余弦定理列方程求得。

【解】

四边形ABCD的面积S=

注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运

追踪训练一

1△ABC中a=6,b=6A=30°则边C=（C）

A6B12C6或12D6

2△ABC中若sin(A+B)，则△ABC是（B）

A锐角三角形B直角三角形

C钝角三角形D等腰三角形

3△ABC中若面积S=

则C=（C）

ABCD

4△ABC中已知∠A=60°，AB=AC